Studio dei punti di derivabilità di una funzione

[AlessiaE]

Buonasera,
non riesco a svolgere lo studio dei punti di derivabilità di questa funzione, o meglio, non so come strutturarlo o come scriverlo. I punti da studiare sono chiaramente $ x = 0 $ e $ x = e $ perché annullano la radice ma poi come procedo?

$ y = { ( root(3)(x*|lnx-1|), x!=0),( 0 , x = 0 ):} $

Grazie.

[@melia]

Ovviamente a $0$ devi arrivarci da destra, perché il dominio della funzione è $x>=0$

In $0$ la funzione non è derivabile perché calcolando il limite del rapporto incrementale per $h->0^+$ viene $+oo$.

In $e$ il problema si complica un po', ma solo perché il limite del rapporto incrementale è più complicato come calcoli, comunque anche lì dovresti ottenere che va a $oo$ e che quindi la funzione non è derivabile.
A volte, nei testi di scuola secondaria, per verificare la derivabilità in $c$ suggeriscono di calcolare il limite della derivata per $x->c$, ma questa cosa richiede delle ipotesi sulla funzione che non si studiano alle superiori.

[AlessiaE]

Va bene allora lo svolgerò usando la definizione di derivata.

In effetti anche il mio libro ne parla... Di che tipo di ipotesi si tratta?

[@melia]

Non le ricordo, non sono cose che si studiano alle superiori, e io insegno alle superiori.

[Vulplasir]

Penso non sia altro che un corollario del teorema di Hopital.
Infatti dalla definizione di derivabilità in un punto si ha: $f'(x_0)=lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$, posto $f(x)-f(x_0)=g(x)$ e $x-x_0=h(x)$ si ha $f'(x_0)=lim_(x->x_0)g(x)/(h(x))=lim_(x->x_0)(g'(x))/(h'(x))=lim_(x->x_0)f'(x)$.
In pratica invece di fare il limite del rapporto incrementale basta verificare che in un intorno del punto desiderato la funzione soddisfi le ipotesi di Hopital e quindi procedere calcolando il limite della funzione derivata.

[@melia]

Mi sembrava che fosse un po' più complicato, ho cercato il controesempio che gugo aveva postato, ma non l'ho trovato.