Equazione parametrica di trigonometri

[bosu]

Sto cercandodi risolvere mediante i parametri la seguente equazione parametrica:

$ 2*(sinx + cosx)= sqrt(6) $

Purtroppo non giungo al risultato esatto. Qualcuno mi può aiutare?

Grazie

[Vulplasir]

$sinx+cosx=sqrt(2)(sqrt(2)/2sinx+sqrt(2)/2sinx)=sqrt(2)sin(x+pi/4)$

[axpgn]

Sicuro della prima equivalenza?

[Vulplasir]

Errore di battitura, ovviamente uno di quei due $sinx$ è un $cosx$

[bosu]

Sinceramente non ho capito quale metodo hai usato per la soluzione. Le soluzioni dell'equazione nei limiti [0,3PIgreco] sono le seguenti:( $ pi /12 ,5/12pi,25/12pi ,29/12pi $ ).
Come si può risolverla usando i parametri: $ t=tan( alpha/2) ; sinalpha=(2t)/(1+t^2) ; cosalpha =(1-t^2)/(1+t^2) $ ?
Non dovrebbe essere difficile ma i conti non mi tornano.

Grazie e ciao

[andar9896]

Ciao, Vulplasir ha ingegnosamente modificato l'equazione in modo da renderla molto più semplice... ti consiglio di abituarti a cose del genere perché potranno esserti molto utili!
In ogni caso, procedendo con le formule parametriche si arriva a:
$(sqrt6+2)t^2-4t+sqrt6-2=0$ che va risolta come una normale equazione di secondo grado. Una delle radici è $(sqrt2-1)(sqrt3-sqrt2)$ ma non ti spaventare, perché con una buona calcolatrice scientifica arriverai presto alla meta!

[Vulplasir]

Partiamo dal presupposto che le parametriche sono quasi del tutto inutili in molti casi e non fanno altro che complicare le cose. Quindi ti sconsiglio di risolvere questa equazione con le parametriche e in generale qualsiasi equazione, a meno che non sia risolvibile solo e solamente con esse.

Considera $asinx+bcosx$, moltiplica e dividi per $sqrt(a^2+b^2)$, hai:

$asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sinx+b/sqrt(a^2+b^2)cosx)$.

Sicuramente vale che $|a/sqrt(a^2+b^2)|<=1$, $|b/sqrt(a^2+b^2)|<=1$ e inoltre è vero che $(a/sqrt(a^2+b^2))^2+(b/sqrt(a^2+b^2))^2=1$, queste condizioni sono sufficienti per poter dire che $a/sqrt(a^2+b^2)$ e $b/sqrt(a^2+b^2)$ sono rispettivamente il coseno e il seno di qualche angolo $phi$, dato che in valore assoluto sono sempre minori o uguali a 1 e la somma dei loro quadrati fa 1, quindi:

$asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)(cos(phi)sinx+sin(phi)cosx)$, se conosci la formula di addizione del seno potrai sicuramente dire quindi che:

$asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)(cos(phi)sinx+sin(phi)cosx)=sqrt(a^2+b^2)sin(x+phi)$

Tornando a $sinx+cosx$ del tuo esercizio, hai $a=b=1$ e quindi $sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2)$, inoltre hai $a/sqrt(a^2+b^2)=b/sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2)/2$, questo ti permette di dire che $phi=pi/4$ dato che $sin(pi/4)=cos(pi/4)=sqrt(2)/2$.

L'equazione diventa:

$2sqrt(2)sin(x+pi/4)=sqrt(6)$
$sin(x+pi/4)=sqrt(3)/2$
$x+pi/4=pi/3+2kpi -> x=pi/12+2kpi$
$x+pi/4=2/3pi+2kpi -> x=5/12pi+2kpi$

Ovviamente questo metodo è utile solo quando $a/b$ è un valore di qualche tangente o cotangente di qualche angolo notevole.