Limite in forma indeterminata

[francicko]

x@Nukenin.
Volendo razionalizzare si ha :
$lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)((x-tanx)×( sqrt(1+x^3)+1))/((sqrt (1+x^3)-1)×(sqrt (1+x^3)+1))=lim_(x->0)((x-tanx)×(sqrt(1+x^3)+1))/(1+x^3-1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×lim_(x->0)(sqrt (1+x^3)+1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×2$,
a questo punto avendo ancora la forma indetetminata $0/0$ e potendo applicare il teorema di Hopital avremo $lim_(x->0)2×(x-tanx)/x^3=lim_(x->0)2×(-tan^2(x))/(3x^2)=-2×lim_(x->0)(tan^2 (x))/(3x^2)=(-2/3)×lim_(x->0 )(tanx /x)×lim_(x->0)(tanx/x)=(-2/3)×1×1=-2/3$
Avendo osservato che il limite notevole $lim_(x->0) tanx/x=1$;
Spero di essermi spiegato in modo chiaro.
Saluti!

[Nukenin]

Grazie a francicko per la spiegazione, chiarissimo.

Anche questo è un caso simile al precedente?

$lim_ (x->0) (arctg log(1+x^2))/(log(1+arctg^2x))$

Riconducendosi ai limiti notevoli sia al num. che al den., si ottiene:

$lim_ (x->0) (arctg x^2)/(arctg^2x) ->$ $0/0$

[francicko]

No questo non e' un caso simile al precedente, in quanto non hai differenze di infinitesimi, tipo $x-sinx $ , oppure $x-tanx $, $x-arctgx $ , $sinx-tanx$, ecc. ecc. dove vengono coinvolti termini successivi;
Quello che hai ottenuto con i limiti notevoli e' giusto, devi continuare , moltiplicando e dividendo per $x^2$, ottieni:
$lim_(x->0) (x^2×arctg (x^2))/(x^2×arctg^2 (x )) $ $=lim_(x->0)(arctg (x^2))/x^2×lim_(x->0)x/(arctgx)×lim_(x->0)x/(arctgx)$,
a questo punto hai un prodotto di limiti notevoli che danno $1$, pertanto il risultato del limite e'$1$.

[Nukenin]

$lim_(x->0) (5tanx+senxcosx)/(log(2e^x-1)+3sen^2(2x))$

[francicko]

Quindi dato che $cos0=1$possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0)(5tanx+sinx)/(log(2e^x-1)+3sin^2(2x))$ ed usando gli asintotici (limiti notevoli) avremo ancora $tanx~x $, $sinx~x$, $sin^2(2x)~4x^2$, $e^x~(1+x) $, e quindi $2e^x~2+2x$, sostituendo si ha :
$lim_(x->0)(5x+x)/(log (2+2x-1)+4x^2)=lim_(x->0)(6x)/(log(1+2x)+4x^2) $
ma $log (1+2x)~2x $, $4x^2$ e' un infinitesimo trascurabile a denominatore per cui si ha:
$lim_(x->0)(6x)/(2x)=3$, che e' il risultato esatto del limite proposto.

[Nukenin]

$lim_(x->-oo) sqrt(3+9x^2)/(1-3x) =1$

Io l'ho risolto così trovandomi però come risultato $-1$:

=$lim_(x->-oo)(x(sqrt(3/(x^2)+9)))/(x(1/x-3)) $

=$lim_(x->-oo)(xsqrt9)/(-3x)$

=$lim_(x->-oo)(3x)/(-3x) =-1$

Cosa sbaglio?

[andar9896]

La $x$ è negativa, dunque puoi portarla fuori dalla radice solo mettendoci un segno $-$ davanti.

[@melia]

Chiudo. A me il necroposting dà i brividi.