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quindi non c'è bisogno di usare la definizione per verificare il limite.... basta far un ragionamento del genere in questi casi, giusto? "ometto" il sistema di disequazioni....

Diciamo che in teoria deve funzionare anche la verifica con la definizione.

Solo che in questo caso viene \[
\left|x\sin\frac{1}{x}\right| < \varepsilon
\] che forse non è banale. O forse mi sfugge qualcosa...

Può essere che fare colazione mi aiuti a pensare meglio...

minomic ha scritto:
Può essere che fare colazione mi aiuti a pensare meglio...

concordo

Frasandro ha scritto:e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

In questo caso per calcolarlo non ci sono problemi, per la verifica, invece, visto che non è possibile risolvere algebricamente in modo standard la disequazione con gli intorni potresti utilizzare il teorema del confronto (dei due carabinieri) e fare la verifica per le due funzioni "carabiniere", che poi sono $-|x|$ e $|x|$.

@melia ha scritto:

Frasandro ha scritto:e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

In questo caso per calcolarlo non ci sono problemi, per la verifica, invece, visto che non è possibile risolvere algebricamente in modo standard la disequazione con gli intorni potresti utilizzare il teorema del confronto (dei due carabinieri) e fare la verifica per le due funzioni "carabiniere", che poi sono $-|x|$ e $|x|$.

Grazie per le dritte, ci riproverò in seguito....

adesso ho un dubbio su questo: $ 2^x - 8 < epsilon $ dopo qualche passaggio mi risulta $ x < 3 + lg_2 epsilon $, è corretto?

No, devi applicare il logaritmo a tutto il membro di destra, quindi \[
2^x < 8 + \varepsilon
\] \[
x < \log_2 \left(8 + \varepsilon\right)
\]

e questa $ log_2 (x/(x+1))<epsilon -1 $ diventa $ log_2 (x/(x+1))< log_2 (2)^(epsilon-1) $ giusto? in tal caso, come devo proseguire?

Sì, sembra tutto ok. Poi elimini il logaritmo e confronti gli argomenti, porti tutto a sinistra e fai il minimo.

Comunque sarebbe meglio se tu ci mostrassi il testo iniziale, cioè il limite che stai cercando di verificare...

il testo è questo: $ lim_(x -> 1) log_2(x/(x+1)) =-1 $

Nel frattempo, ho fatto il m.c.m tra gli argomenti e svolto i calcoli... alla fine ho ottenuto

queste soluzioni: $ (2^(-1-epsilon)/(1-2^(-1-epsilon))) < x < (2^(epsilon - 1)/(1-2^(epsilon-1))) $ cioè $ 1^(-) < x < 1^(+) $

Sì, il risultato sembra corretto... Immagino tu abbia fatto entrambe le disequazione e poi le abbia messe "a sistema" per vedere quali parti sono in comune. Facendo i conti al volo, una delle due mi dava risultato $-1 < x < 1^+$ e l'altra $x < -1 vv x > 1^-$, quindi la loro intersezione è proprio $1^-$ $< x < 1^+$, che rappresenta un intorno di $1$. Quindi il limite è verificato.