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Ciao a tutti.

Mi aiutate a risolvere questo esercizio. Per quanto mi sforzi non riesco a trovarmi con le soluzioni...

Considera l'equazione $(a-2)x^2 +3a*y^2 = a-4$. Determina, se esistono, i valori di a per cui essa rappresenta:

- un'iperbole avente i fuochi nei punti di coordinate $(+-sqrt(14/3),0)$;
- un'iperbole avente per asintoti le rette di equazioni $x+-sqrt(3)y = 0 $;
- un'ellisse passante per il punto di coordinate (2,1).

Grazie tantissimo.

Raffaele

Soluzioni $a=1/2 vv a=4/3; a=1;$ nessun valore di a

Per quanto riguarda il primo esercizio ho provato a fare in questo modo.

Ho riscritto l'equazione nella forma $((a-2)/(a-4))x^2 + ((3a)/(a-4))y^2 =1$.

Ho utilizzato l'espressione $c^2 = a^2 + b^2$ e quindi, $14/3 = (a-2)/(a-4) + (3a)/(a-4)$.

Svolgo i calcoli, ma il risultato è l'equazione $5a^2 -5a-4=0$ che ovviamente conduce a soluzioni errate.

Per quanto riguarda il secondo quesito, ho riscritto gli asintoti in forma esplicita e ne ho scelto uno: $y = (1/sqrt(3))x$.
Ho utilizzato l'espressione $(b/a) = m$ e quindi $sqrt((a-4)/(3a))/sqrt((a-4)/(a-2)) = 1/sqrt(3)$.

Anche in questo caso il calcolo mi porta all'espressione $a-2 = a$ che naturalmente non è corretta.

Dove sbaglio secondo voi?

Grazie per il vostro aiuto.

Raffaele

In entrambe le risposte hai dimenticato di imporre che si tratti di un'iperbole: occorre quindi che i coefficienti di $x^2,y^2$ abbiano segno opposto, cioè che sia
$(a-2)*3a<0->0<a<2$
Tenendo conto di questo, si hanno numeratori e denominatori positivi se l'equazione viene scritta come
$(2-a)/(4-a)x^2-(3a)/(4-a)y^2=1$

Questo basta per correggere la seconda risposta; nella prima hai anche dimenticato che $a^2, b^2$ sono a denominatore e quindi le frazioni vanno invertite.

Grazie moltissimo.

Raffaele