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La nostra insegnante ci ha detto che per calcolare l'insieme delle immagini è sufficiente calcolare i limiti agli estremi del dominio. Ho qualche difficoltà tuttavia ad applicare questa regola nel caso in cui y= rad(2-x) . I limiti agli estremi darebbero entrambi 0...come faccio a dimostrare sfruttando questo metodo che è uguale a y >o uguale di 0?
O ancora per esempio nella funzione 2 + |x+3| : il risultato sarebbe y > o uguale a 2 , ma come si applica il metodo in questo caso? Per trovare i limiti dovrò considerare la funzione per casi ? Aiuto!

Ciao, se consideri $y=sqrt(2-x)$ il dominio è $(-oo, 2]$ quindi i limiti non sono entrambi $0$! Uno fa zero, mentre l'altro fa $+oo$, e infatti l'immagine è proprio $[0, +oo)$.

Giusto, erroraccio mio! E con le funzioni goniometriche ? Se io tg(x+1) non posso calcolare i limiti per x tendente a infinito per funzioni periodiche ..come procedo?

No, il limite di una funzione periodica è indefinito. Ad esempio il seno e il coseno assumono per sempre valori compresi tra $-1$ e $1$, ma non sai indicare con precisione quale. Invece puoi fare quello che abbiamo detto, restringendoti ad un singolo periodo. Con un po' di attenzione... Se consideri la funzione tangente e il suo periodo $(-pi/2, pi/2)$ hai che effettivamente i limiti fanno rispettivamente $-oo$ e $+oo$, quindi puoi concludere che l'immagine della tangente è tutto $RR$. Ed è corretto. Se però consideri come periodo l'intervallo $[0, pi]$ allora hai che entrambi i limiti fanno zero! Questo perché non tieni conto della discontinuità che c'è in $pi/2$. Quindi... attenzione!

Perfetto, grazie! Quindi generalizzando, posso applicare questo metodo solo quando la funzione è continua ?

Eh non deve essere solo continua... Pensa al seno ristretto nel suo periodo $[0, 2pi]$: vale $0$ ad entrambi gli estremi! Ad occhio direi che una condizione necessaria e sufficiente per applicare questo metodo è che la funzione sia continua e monotona. Poi magari sentiamo qualche altra opinione...

Grazie mille anche se la mia prof l'ha applicato al caso di y= (x-1) /x definita per x < o uguale di 1 e ha trovato che y deve essere compresa tra 0 incluso e 1 escluso..

Forse volevi dire per $x >= 1$? In ogni caso il grafico di quella curva è



In quell'intervallo la curva è continua e monotona, quindi va bene il metodo dei due estremi. Se prendi l'intervallo $[1, +oo)$ hai che il limite all'estremo di sinistra fa $0$ mentre quello all'estremo di destra fa $1$. Quindi l'immagine è data dall'intervallo $[0, 1)$.

No, è proprio x minore o uguale a 1.. Non sarebbe la prima delle cantonate che prende la mia insegnante, quindi è plausibile un suo eventuale errore

Eh allora sì... Se la curva è quella che hai scritto (e della quale ho postato il grafico) e l'intervallo è $x <= 1$ allora c'è decisamente un errore. Ad esempio, se consideriamo l'intervallo $(0, 1]$ abbiamo che l'immagine è $(-oo, 0]$.