Esercizi disequazioni esponenziali
Inviato: 04/03/2024, 23:10
Ciao a tutti,
sto ripetendo le disequazioni esponenziali e vorrei, se fosse possibile, un vostro parere riguardo lo svolgimento dei seguenti esercizi.
Primo esercizio:
$ sqrt((x-1)^2 e^-x) > x-1 $
Nel caso di $ x-1<0$ abbiamo $ (x-1)^2 e^-x >0 $ quindi $(x-1)^2>0$ ossia $x^2-2x+1>0$ --> $x_{1} = x_{2} = 1$ mentre $e^-x$ essendo un esponenziale è una quantita sempre maggiore di 0, quindi $e^-x >0$ è vera per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali. Quindi la soluzione del primo sistema è (-inf, 1)
Nel caso di $ x-1>0$ elevo al quadrato ottenendo $(x-1)^2 e^-x> (x-1)^2$ semplificando entrambi i membri per $(x-1)^2$ ottengo $e^-x>1$ quindi $x<0$ La soluzione del secondo sistema è (0,1).
Unendo le due soluzioni otteniamo che la soluzione della disequazione è (-inf, 1). Corretto?
Secondo esercizio:
$(2x^2 -\frac{1}{2}x) e^-x>=0 $
$(2x^2 -\frac{1}{2}x)>=0$ risolvendo la disequazione ottengo (-inf,0) U (1/2, + inf) che sono anche la soluzione della disequazione in quanto $e^-x>=0$ è sempre positivo. Corretto?
sto ripetendo le disequazioni esponenziali e vorrei, se fosse possibile, un vostro parere riguardo lo svolgimento dei seguenti esercizi.
Primo esercizio:
$ sqrt((x-1)^2 e^-x) > x-1 $
Nel caso di $ x-1<0$ abbiamo $ (x-1)^2 e^-x >0 $ quindi $(x-1)^2>0$ ossia $x^2-2x+1>0$ --> $x_{1} = x_{2} = 1$ mentre $e^-x$ essendo un esponenziale è una quantita sempre maggiore di 0, quindi $e^-x >0$ è vera per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali. Quindi la soluzione del primo sistema è (-inf, 1)
Nel caso di $ x-1>0$ elevo al quadrato ottenendo $(x-1)^2 e^-x> (x-1)^2$ semplificando entrambi i membri per $(x-1)^2$ ottengo $e^-x>1$ quindi $x<0$ La soluzione del secondo sistema è (0,1).
Unendo le due soluzioni otteniamo che la soluzione della disequazione è (-inf, 1). Corretto?
Secondo esercizio:
$(2x^2 -\frac{1}{2}x) e^-x>=0 $
$(2x^2 -\frac{1}{2}x)>=0$ risolvendo la disequazione ottengo (-inf,0) U (1/2, + inf) che sono anche la soluzione della disequazione in quanto $e^-x>=0$ è sempre positivo. Corretto?