Inviato: 06/12/2008, 20:23Mi intrometto perché il problema sembra interessante (ma I.M.H.O. c'è bisogno di fare ordine).
La prima cosa che vorrei puntualizzare è: cosa significa "il numero con parte intera 0 e parte decimale la successione dei numeri primi"? Una cosa tipo $0.p_1p_2...p_n...$ non ha granché senso perché a parte 2,3,5, e 7 i numeri primi sono più grandi di 9. Forse intendi dire il numero fatto così: $sum_{n=1}^infty(p_n)/(10^n)$?
Altra cosa: a parte @melia, mi pare che qui nessuno abbia fatto chiarezza sul concetto di numero algebrico. Le definizioni sono semplici, il difficile è verificarle:
un numero complesso $z$ si dice algebrico se e solo se esiste un polinomio $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ a coefficienti interi (o equivalentemente a coefficienti razionali) tale che $P(z)=0$. E' chiaro che la definizione va bene anche per i numeri reali, se li consideriamo come particolari numeri complessi. Se un numero non è algebrico allora si dirà trascendente.
Questo concetto è molto diverso da quello di numero irrazionale, che è invece un numero reale non razionale. Le relazioni tra queste due classi di numeri sono queste:
a) tutti i numeri razionali sono anche algebrici;
b) non tutti i numeri algebrici sono razionali.
La dimostrazione è facile:
a)se un numero $x$ è razionale allora per definizione esistono due interi $p, q$ tali che $x=p/q$. Quali sono allora le radici di $P(x)=qx-p$?
b) Gli esempi più immediati di numeri algebrici non razionali sono $i$ (l'unità immaginaria), e $sqrt(2)$. ll primo numero non è nemmeno reale, figuriamoci razionale; il secondo invece non è un numero razionale e la dimostrazione è una cosa nota, si può trovare ad esempio su wikipedia. Però questi numeri sono algebrici, essendo radici rispettivamente di $x^2+1, x^2-2$.
Ho scritto tutto questo panegirico per mettere quantomeno un paletto sulle definizioni (sperando di non aver fatto errori eh
). Comunque, a primo sguardo non mi sembra un problema semplicissimo. Ma adesso nelle scuole superiori si fanno queste cose??
La prima cosa che vorrei puntualizzare è: cosa significa "il numero con parte intera 0 e parte decimale la successione dei numeri primi"? Una cosa tipo $0.p_1p_2...p_n...$ non ha granché senso perché a parte 2,3,5, e 7 i numeri primi sono più grandi di 9. Forse intendi dire il numero fatto così: $sum_{n=1}^infty(p_n)/(10^n)$?
Altra cosa: a parte @melia, mi pare che qui nessuno abbia fatto chiarezza sul concetto di numero algebrico. Le definizioni sono semplici, il difficile è verificarle:
un numero complesso $z$ si dice algebrico se e solo se esiste un polinomio $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ a coefficienti interi (o equivalentemente a coefficienti razionali) tale che $P(z)=0$. E' chiaro che la definizione va bene anche per i numeri reali, se li consideriamo come particolari numeri complessi. Se un numero non è algebrico allora si dirà trascendente.
Questo concetto è molto diverso da quello di numero irrazionale, che è invece un numero reale non razionale. Le relazioni tra queste due classi di numeri sono queste:
a) tutti i numeri razionali sono anche algebrici;
b) non tutti i numeri algebrici sono razionali.
La dimostrazione è facile:
a)se un numero $x$ è razionale allora per definizione esistono due interi $p, q$ tali che $x=p/q$. Quali sono allora le radici di $P(x)=qx-p$?
b) Gli esempi più immediati di numeri algebrici non razionali sono $i$ (l'unità immaginaria), e $sqrt(2)$. ll primo numero non è nemmeno reale, figuriamoci razionale; il secondo invece non è un numero razionale e la dimostrazione è una cosa nota, si può trovare ad esempio su wikipedia. Però questi numeri sono algebrici, essendo radici rispettivamente di $x^2+1, x^2-2$.
Ho scritto tutto questo panegirico per mettere quantomeno un paletto sulle definizioni (sperando di non aver fatto errori eh
). Comunque, a primo sguardo non mi sembra un problema semplicissimo. Ma adesso nelle scuole superiori si fanno queste cose??