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Equazione di una parabola da un punto e il vertice Esercizio

MessaggioInviato: 01/12/2009, 16:49
da lordb
Dunque mi sono ritrovato stamane con questo problema e non sono riuscito a risolverlo per problemi di calcolo,purtroppo trovata l'equazione della parabola dovevo trovare le tangenti e varie,ma visto che non sono riuscito a trovare l'equazione è stata una strage ^^
Comunque mi serve solo riuscire arrivare all'equazione,spero possiate aiutarmi.

- Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $. Vi ricordo che questa è l'equazione generica di una parabola : $ y=ax^2+bx+c $ e le coordinate generiche del V sono $ (-b/[2a] ; -Delta/[4a])
Ecco come avevo fatto io potete dirmi dove ho sbagliato? (fate finta sia un sistema a 3)
$ { 2= a+b+c { a=-b-c+2 $
$ { -7= 4a-2b+c { -7= 4(-b-c+2)-2b+c {0= -4b-4c+8+7-2b+c {6b= -3c +15 {[6b]/6= -[3c]/6 +15/6 {b=-1/2c + 5/2 {b=[c+5]/2 $
$ {-2= -b/[2a] {-2= [[-c-5]/2]/[2(-c-5-c+2)] {-2= [[-c-5]/2]/[-2c-10-2c+4] { -2=[[-c-5]/2]/[-4c-6] {-2(-4c-6) = [-c-5]/2 {-8c+12= [-c-5]/2 {2(-8c+12)=-c-5 {-16c+24+c=-5 {-15c =-29 {[15c]/15 =29/15 $

$ { a= -104/15-29/15+2 {a= [-104-29+30]/15 {a=-103/15 $
$ { b= [29/15+5]/2 {b= [29+75]/15 =104/15 $
$ { c= 29/15 $

quindi: $ y=-103/15x^2+104/15x+29/15 $

Mi sono reso conto da solo che non aveva senso continuare la verifica :-D

Grazie per l'aiuto

MessaggioInviato: 01/12/2009, 18:04
da Titania
L'impostazione era giusta... Non ho ben capito come pensavi di risolvere il sistema.

Io avrei esplicitato la b, veniva $b=4a$.
A quel punto la sostituivi nelle altre due equazioni.
A conti fatti, ottenevi $a=1$, $b=4$ e $c=-3$

La tua parabola era quindi $y=x^2+4x-3$

MessaggioInviato: 01/12/2009, 18:24
da lordb
Grazie mille hai ragione !
io avevo esplicitato per prima la a, ma comunque non sarebbe dovuto venire lo stesso?

MessaggioInviato: 01/12/2009, 18:28
da Titania
Sì certo, ma esplicitando la a i calcoli erano più lunghi, quindi fare errori era molto più facile.

Ciao!:D

MessaggioInviato: 01/12/2009, 18:31
da lordb
Grazie caro!

Re: Equazione di una parabola da un punto e il vertice Eserc

MessaggioInviato: 01/12/2009, 20:36
da franced
lordb ha scritto: Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $.


Basta riferirsi alla formula

$y = a (x-x_V)^2 + y_V$

poiché $x_V = -2$ e $y_V = -7$ si ha

$y = a (x+2)^2 - 7$ ;

sostituendo ora $x=1$ e $y=2$ abbiamo

$2 = a * (1+2)^2 - 7$

$a = 1$

per cui l'equazione della parabola è

$y = (x+2)^2 - 7$

se vogliamo sviluppare otteniamo

$y = x^2 + 4 x - 3$ .

MessaggioInviato: 02/12/2009, 09:46
da lordb
Grazie mille! Non la conoscevo questa formula !
Dove posso trovare una dimostrazione a questa e all'altra formula precostituita :
dato fuoco e vertice:
trovare valore di p = (parametro?) $P= Yf-Yv $
$ a=1/[4p] $

Grazie mille!

MessaggioInviato: 02/12/2009, 10:56
da Nicole93
Attento! non tutti gli insegnanti accettano formule precostituite (soprattutto se non sono stati loro a spiegarle!), perchè generalmente interessa il ragionamento che sta alla base dell'esercizio, e cioè vedere se lo studente è in grado di capire cosa significa ottenere una parabola dati un punto ed il suo vertice
Io ad esempio non la accetterei, mentre in genere pretendo che il sistema venga risolto nel modo migliore, cioè non col metodo
di sostituzione, bensì col metodo di somma o riduzione
quindi il metodo migliore per me è questo :
${\(-b/(2a)=-2),(2=a+b+c),(-7=4a-2b+c):}$
ricavo b dalla prima equazione e vado a sostituirla nelle altre due, poi applico il metodo :
${\(b=4a),(5a+c=2),(-4a+c=-7):}$
ora basta sottrarre membro a membro le ultime due equazioni ed ottieni :
$9a=9$ , cioè $a=1$
a questo punto ricavi immediatamente b e poi c

MessaggioInviato: 02/12/2009, 11:11
da lordb
ok ne farò presente grazie ^^

MessaggioInviato: 02/12/2009, 12:54
da franced
Guarda che la formula

$y = a (x - x_V)^2 + y_V$

rappresenta una generica parabola.


Infatti, una parabola di vertice $O$ ha equazione

$y = ax^2$ ;

con la traslazione che porta $O$ in $V$ otteniamo proprio

$y = a (x - x_V)^2 + y_V$ .