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Discussioni su argomenti di matematica di scuola secondaria di secondo grado

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Circonferenza circoscritta a un triangolo

16/02/2011, 19:29

Conoscete una formula per calcolare il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo generico di lati a,b,c?

Grazie in anticipo.

16/02/2011, 19:38

è una formula che si dimostra tramite la similitudine; detta S l'area del triangolo, il raggio della circonferenza circoscritta è:

$R=(a*b*c)/(4S)$

18/02/2011, 19:18

Nonostante mi stia spremendo le meningi da un po' di tempo non sto riuscendo a dimostrare la formula che mi hai dato.
Come si fa?

18/02/2011, 19:35

appunto tramite la similitudine
la dimostrazione dovrebbe esserci in tutti i libri di testo, comunque non è molto difficile

Disegna il triangolo , chiamando $A,B,C$ i vertici opposti rispettivamente ai lati $a,b,c$, e la circonferenza circoscritta
Traccia l'altezza $AH$ relativa al lato $a$ e poi disegna il triangolo $ACD$, dove $AD$ è il diametro della circonferenza
I triangoli $ABH$ e $ACD$ sono simili in quanto sono entrambi rettangoli ed hanno $AhatBH=AhatDC$ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
Dunque puoi scrivere la proporzione:
$AB:AD=AH:AC$ e, sostituendo i loro valori:
$c:2R=h:b$

da qui ricavi . $R = (b*c)/(2h)$ o in modo equivalente, moltiplicando numeratore e denominatore per a:
$R= (a*b*c)/(2a*h)$ e , poichè $2a*h=4S$, ottieni la formula che ti ho scritto

19/02/2011, 13:26

capito; grazie per il disturbo.

19/02/2011, 15:44

prego!

Re:

20/09/2012, 13:54

Nicole93 ha scritto:appunto tramite la similitudine
la dimostrazione dovrebbe esserci in tutti i libri di testo, comunque non è molto difficile

Disegna il triangolo , chiamando $A,B,C$ i vertici opposti rispettivamente ai lati $a,b,c$, e la circonferenza circoscritta
Traccia l'altezza $AH$ relativa al lato $a$ e poi disegna il triangolo $ACD$, dove $AD$ è il diametro della circonferenza
I triangoli $ABH$ e $ACD$ sono simili in quanto sono entrambi rettangoli ed hanno $AhatBH=AhatDC$ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
Dunque puoi scrivere la proporzione:
$AB:AD=AH:AC$ e, sostituendo i loro valori:
$c:2R=h:b$

da qui ricavi . $R = (b*c)/(2h)$ o in modo equivalente, moltiplicando numeratore e denominatore per a:
$R= (a*b*c)/(2a*h)$ e , poichè $2a*h=4S$, ottieni la formula che ti ho scritto


Questa dimostrazione però, se ho ben capito, è fatta considerando un triangolo isoscele... E' corretto?

Re: Circonferenza circoscritta a un triangolo

21/09/2012, 17:27

No, si riferisce ad un triangolo qualsiasi, sfruttando il fatto che angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AC sono congruenti.

Re: Circonferenza circoscritta a un triangolo

22/09/2012, 08:18

Ora ho capito, grazie.. Avevo disegnato male la figura..
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