Correzione Compito di Matematica

Messaggioda Gianfry7 » 25/05/2011, 14:26

Salve a tutti, stamattina ho svolto il compito di Matematica e ho un dubbio su un problema di Geometria
Il Problema diceva:
Dato un Trapezio Rettangolo ABCD (Rettangolo in A e B), collega A e B al punto medio di CD, ottenendo il punto E. Dimostra che il triangolo AEB è isoscele
Allego una figura
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine

Io ho proceduto così
Ho considerato il triangolo FCD (F Piede dell'altezza) e considerato che FE ≡ CE ≡ DE Poichè mediana dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Successivamente ho giocato un po' con gli angoli
ECG ≡ CDA Poichè alterni esterni
ECF ≡ EFC Poichè angoli alla base di un triangolo isoscele
ECF+ECG = 180°
Ciò implica che
EFC+ECG = 180°
Ma poichè EFC + EFB = 180°
Avremo EFB ≡ ECG
E per transitività EFA ≡ EDA

Successivamente ho considerato il quadrilatero ABFD
Poichè ha quattro angoli retti avremo che BF ≡ AD e AB ≡ FD

Adesso ho tutti gli elementi per affermare che AEB è isoscele
Consideriamo i triangoli BEF e AED
Per il 1° CCT
BF ≡ AD
EFA ≡ EDA
EF ≡ ED

Quindi BE ≡ AE

C.v.d


Il problema però è che trovo il mio ragionamento leggermente contorto. Pur avendo applicato Talete non sono sicuro di aver fatto giusto. Potete indicarmi un'altra strada, magari più semplice, e correggermi eventuali errori?
Gianfry7
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Re: Correzione Compito di Matematica

Messaggioda Seneca » 25/05/2011, 15:02

Premetto che non ho letto con attenzione cosa hai fatto. Credo che però potresti fare così:

Conduci dal punto $E$ la perpendicolare ad $AB$ e chiama $H$ il piede della perpendicolare. $AH$ è congruente ad $HB$ per il teorema di Talete. Considera i triangoli rettangoli $AHE$ e $BHE$. Valgono le sguenti relazioni:

$BE^2 - HE^2 = HB^2$
$AE^2 - HE^2 = HA^2$

da cui si deduce che $AE = BE$.

Ti torna?
Seneca
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