Una bicicletta sola

Messaggioda nino_ » 26/11/2014, 13:35

Un uomo, una donna ed il loro cane devono trasferirsi nel paese vicino, distante 10 km.
Per percorrere i 10 km hanno a disposizione solo una bicicletta.
A piedi, l'uomo e la donna camminano ad una velocità media costante di 2 km/h, mentre in bicicletta pedalano a 12 km/h.
Il cane è un super cane: non solo è capace di guidare la bici, ma con questo mezzo va anche più forte, alla velocità media di 16 km orari. Invece, quando è a piedi (zampe ) va a 4 km/h.

La bici porta una persona (per me i cani sono persone!) alla volta e quindi, alternandosi a loro discrezione, due proseguono a piedi, mentre il terzo può utilizzare la bicicletta.

Il viaggio è concluso quando tutti e tre sono arrivati a destinazione.
Come si può ottimizzare il percorso in modo da impiegarci il minor tempo possibile?
nino_
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda al_berto » 26/11/2014, 14:46

Ciao a tutti.

Tanto per iniziare:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il cane impiega in bici 37' 30" e a zampe 150'
L'uomo impiega in bici 50' e a piedi 300'
La donna idem c.s.
Quindi che vadano a zampe a piedi o in bici dovranno sempre aspettare l'uomo o la donna che vanno a piedi.
Ci impiegheranno così 300'.
L'alternarsi in bicicletta credo che serva solo per fare meno fatica. Non va bene, eh?
Salus et Pecunia.
Legge 28.
L'intensità del prurito è sempre inversamente proporzionale alla raggiungibilità del punto.
al_berto
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda nino_ » 26/11/2014, 15:14

al_berto ha scritto:Ciao a tutti.

Tanto per iniziare:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
L'alternarsi in bicicletta credo che serva solo per fare meno fatica. Non va bene, eh?


Eh..., no, non va bene... :)

Aiutino:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per ottimizzare (cioè minimizzare il tempo) i tre devono arrivare a destinazione contemporaneamente.
Si deduce facilmente che occorre penalizzare il cane, facendogli fare un po' più di strada, in modo che sia l'uomo che la donna possano fare in bici più di metà percorso.
nino_
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda axpgn » 26/11/2014, 19:35

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una modalità potrebbe essere questa ...

L'uomo parte a piedi e la donna accompagna il cane in bici; ad un certo punto il cane torna indietro in bici fino ad incontare l'uomo e ripartono insieme: l'uomo in bici e il cane a piedi (o quel che è ... ;-)).
Se si sceglie il punto giusto tutti e tre arriveranno insieme.
Questa procedura dovrebbe minimizzare i tempi perché permette agli umani il percorso minore a piedi (che è il più lento).
Il tempo impiegato in questo caso è $3 11\/28\ h$.

Il calcolo si ottiene così ...
L'uomo compie un tratto a piedi ($u_1$) corrispondente ad un tratto in bici della donna doppio $d_1=2u_1$ perchè lei accompagna il cane. Poi ciascuno dei due compie un tratto $x$ comune quando il cane torna indietro in bici. Infine la donna compie a piedi l'ultimo tratto ($d_2$) che è la metà di quello dell'uomo ($u_2=2d_2$) che accompagna il cane.
Quindi abbiamo ${(10=u_1+x+u_2),(10=d_1+x+d_2):}$ da cui ${(10=u_1+x+u_2),(10=2u_1+x+u_2/2):}$ e sottraendo membro a membro $0=u_1-u_2/2\ =>\ 2u_1=u_2$.
Il tempo impiegato dal cane quando torna indietro in bici lo possiamo ricavare in questo modo: la distanza tra uomo e cane è pari a $u_1$ e se ipotizziamo l'uomo fermo la velocità del cane è di $18\ (km)/h$ quindi avremo $t_x=u_1/18$ perciò il tratto $x$ percorso dall'uomo sarà $x=2*u_1/18=u_1/9$.
Ricapitolando: $10=u_1+x+u_2=u_1+u_1/9+2u_1\ =>\ 10=28/9u_1\ =>\ u_1=45/14\ km$
L'uomo percorre i tratti $u_1$ e $x$ a $2\ (km)/h$ e il tratto $u_2$ a $4\ (km)/h$, per un totale di $t=(45/14)/2+(5/14)/2+(45/7)/4=3.39\ h$


Cordialmente, Alex
axpgn
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda nino_ » 26/11/2014, 21:56

axpgn ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una modalità potrebbe essere questa ...

L'uomo parte a piedi e la donna accompagna il cane in bici; ad un certo punto il cane torna indietro in bici fino ad incontare l'uomo e ripartono insieme: l'uomo in bici e il cane a piedi
....
L'uomo percorre i tratti $u_1$ e $x$ a $2\ (km)/h$ e il tratto $u_2$ a $4\ (km)/h$, per un totale di $t=(45/14)/2+(5/14)/2+(45/7)/4=3.39\ h$


Cordialmente, Alex


Il ragionamento mi pare corretto, ma è svolto non in modo ottimale.
(Fra l'altro non ho capito cosa significa che la donna accompagna il cane in bici...)

La partenza avviene allo stesso istante per tutti e tre.
Supponi che il cane vada sempre a piedi e l'uomo e la donna facciano metà percorso a piedi e metà in bici.
In tal caso, il cane arriverebbe per primo (dopo 2 ore e mezza), ma anche uomo e donna arriverebbero in meno tempo di quanto hai calcolato tu (35/12 di ora).
Si può fare meglio.

Ciao
Nino
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda axpgn » 26/11/2014, 23:33

nino_ ha scritto:(Fra l'altro non ho capito cosa significa che la donna accompagna il cane in bici...)
"

Significa "... la donna IN BICI accompagna il cane ...

nino_ ha scritto:... Supponi che il cane vada sempre a piedi e l'uomo e la donna facciano metà percorso a piedi e metà in bici.
In tal caso, il cane arriverebbe per primo (dopo 2 ore e mezza), ma anche uomo e donna arriverebbero in meno tempo di quanto hai calcolato tu (35/12 di ora). ...


Eh, no ... la bici non si può abbandonare per strada ... :? ... ho cercato la soluzione in modo tale che si portino la bici e si diano il cambio ...

Cordialmente, Alex
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda nino_ » 27/11/2014, 09:08

axpgn ha scritto:Eh, no ... la bici non si può abbandonare per strada ... :? ... ho cercato la soluzione in modo tale che si portino la bici e si diano il cambio ...

Cordialmente, Alex


Ovviamente, invece, come da testo, chi guida la bici può abbandonare la bici dove vuole e proseguire a piedi.
La bici verrà recuperata e usata da chi a piedi arriva nel punto ove era stata lasciata.
nino_
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda axpgn » 27/11/2014, 11:20

nino_ ha scritto:Ovviamente, invece, come da testo, chi guida la bici può abbandonare la bici dove vuole e proseguire a piedi. La bici verrà recuperata e usata da chi a piedi arriva nel punto ove era stata lasciata.


... mmm ... a me non pare che il testo dica qualcosa in merito ... :| ... e quindi ho pensato alla soluzione più logica, ma se un cane può andare in bici di logico c'è ben poco ... :-D

Cordialmente, Alex
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda nino_ » 27/11/2014, 13:33

OK per la (scarsa) logica riferita al cane che sa andare in bici.

Però, i dati di un quiz dovrebbero essere tutti necessari, sufficienti ed utilizzati per la soluzione.
E secondo la tua interpretazione non serve a nulla dire che "l'uomo e la donna in bicicletta pedalano a 12 km/h", perché in realtà in bici vanno alla velocità del cane (altrimenti, chi fa l'ultimo tratto in bici arriverebbe prima).

Quindi, con questi chiarimenti...
nino_
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Re: Una bicicletta sola

Messaggioda axpgn » 27/11/2014, 13:43

Allora .. questa dovrebbe funzionare ...
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il tempo minimo occorrente è $2^h\ 45'$.

Partono insieme, la donna in bici; arrivata al $km\ 5,4$ si ferma e prosegue a piedi arrivando a destinazione dopo $2^h\ 45'$ dalla partenza.
Il cane arriva al $km\ 5,4$ dopo $1^h\ 21'$, prende la bici e torna al $km\ 4,6$ da cui riparte a piedi verso la meta dove arriva dopo $2^h\ 45'$.
L'uomo arriva al $km\ 4,6$ dopo $2^h\ 18'$, prende la bici ed arriva alla fine dopo $2^h\ 45'$.


Il dettaglio poi ... forse ... ;-)

Cordialmente, Alex
Ultima modifica di axpgn il 27/11/2014, 13:48, modificato 1 volta in totale.
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