Una bicicletta sola

[axpgn]

E secondo la tua interpretazione non serve a nulla dire che "l'uomo e la donna in bicicletta pedalano a 12 km/h", perché in realtà in bici vanno alla velocità del cane (altrimenti, chi fa l'ultimo tratto in bici arriverebbe prima) ...

Sì, certo l'avevo notato che non mi serviva (e quindi avevo dubbi) ma il testo, permettimi, non è chiaro sulle condizioni e non è certo raro avere problemi con dati inutili "per fare fumo" ...

Comunque ci dovrei essere .. appeno ho tempo posto i ragionamenti che ho fatto ...

Cordialmente, Alex

[nino_]

Allora .. questa dovrebbe funzionare ...

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Il tempo minimo occorrente è $2^h\ 45'$.

Partono insieme, la donna in bici; arrivata al $km\ 5,4$ si ferma e prosegue a piedi arrivando a destinazione dopo $2^h\ 45'$ dalla partenza.
Il cane arriva al $km\ 5,4$ dopo $1^h\ 21'$, prende la bici e torna al $km\ 4,6$ da cui riparte a piedi verso la meta dove arriva dopo $2^h\ 45'$.
L'uomo arriva al $km\ 4,6$ dopo $2^h\ 18'$, prende la bici ed arriva alla fine dopo $2^h\ 45'$.

Il dettaglio poi ... forse ...

Cordialmente, Alex

Perfetto.

Per qualcun altro che magari voglia cimentarsi, c'è questo simile:

Tre amici, Aldo, Berto e Carlo, devono recarsi in una città distante 55 km.
Essi dispongono di una bicicletta, sulla quale possono salire in due, uno che pedala e l'altro che viene trasportato sulla canna.

Decidono pertanto che Aldo procederà a piedi a 4 km l'ora, mentre gli altri due andranno in bicicletta a 20 km orari sino ad un certo punto; qui Carlo scenderà dalla bicicletta e continuerà a piedi, a 4 km/h, fino al termine.
Berto invece tornerà indietro a 30 km/h (da solo va più veloce), e, raggiunto Aldo, insieme proseguiranno in bicicletta fino a destinazione, alla velocità oraria di 20 km.

A quale distanza dal punto di partenza dovrà retrocedere la bicicletta affinché i tre amici possano arrivare insieme?

[axpgn]

Dunque ... il mio ragionamento è stato questo ... (per il quesito col cane ..)

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Parto dal presupposto che la durata minima si ha solo quando il percorso a piedi della coppia è uguale. (Se fosse altrimenti potremmo sempre "pareggiare" i due percorsi diminuendo quello maggiore e di conseguenza il tempo necessario).
Perciò se la donna percorre un tratto $x$ in bicicletta e poi il resto a piedi allora l'uomo percorrerà un tratto $(10-x)$ a piedi ed il resto in bici.
Un esempio di ciò è quello già postato da nino ($5+5$); in tal caso si può notare che il cane ci metterà un tempo minore rispetto agli altri due...
Partendo da questa situazione si può ipotizzare che se la donna farà un tratto maggiore in bici e l'uomo un corrispondente tratto in meno a piedi con il cane che riporta la bici, il tempo totale diminuisce finché il tempo totale im piegato dal cane non supererà quello impiegato dalla coppia.
Formalizzando avremo $t_d=x/12+(10-x)/2=(x+60-6x)/12=(60-5x)/12$ dove $t_d$ è il tempo complessivo impiegato dalla donna e $x$ il tratto percorso in bici; invece $t_c=(x+x)/4+(x-(10-x))/16=2x/4+(2x-10)/16=(8x+2x-10)/16=(10x-10)/16$ dove $t_c$ è il tempo impiegato dal cane.
Uguagliamo i due e otteniamo $(60-5x)/12=(10x-10)/16\ =>\ 240-20x=30x-30\ =>\ 270=50x\ =>\ x=5.4$.
Da qui si prosegue con i vari calcoli ...

Cordialmente, Alex

[nino_]

[quote="axpgn"]

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Parto dal presupposto che la durata minima si ha solo quando il percorso a piedi della coppia è uguale. (Se fosse altrimenti potremmo sempre "pareggiare" i due percorsi diminuendo quello maggiore e di conseguenza il tempo necessario).
Perciò se la donna percorre un tratto $x$ in bicicletta e poi il resto a piedi allora l'uomo percorrerà un tratto $(10-x)$ a piedi ed il resto in bici.
Un esempio di ciò è quello già postato da nino ($5+5$); in tal caso si può notare che il cane ci metterà un tempo minore rispetto agli altri due...
Partendo da questa situazione si può ipotizzare che se la donna farà un tratto maggiore in bici e l'uomo un corrispondente tratto in meno a piedi con il cane che riporta la bici, il tempo totale diminuisce finché il tempo totale im piegato dal cane non supererà quello impiegato dalla coppia.
Formalizzando avremo $t_d=x/12+(10-x)/2=(x+60-6x)/12=(60-5x)/12$ dove $t_d$ è il tempo complessivo impiegato dalla donna e $x$ il tratto percorso in bici; invece $t_c=(x+x)/4+(x-(10-x))/16=2x/4+(2x-10)/16=(8x+2x-10)/16=(10x-10)/16$ dove $t_c$ è il tempo impiegato dal cane.
Uguagliamo i due e otteniamo $(60-5x)/12=(10x-10)/16\ =>\ 240-20x=30x-30\ =>\ 270=50x\ =>\ x=5.4$.
Da qui si prosegue con i vari calcoli ...

OK.

Anche così:

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Graficamente:

|---------------------10 km-------------------------|

|---------------------|--------|---------------------|
.............x..........10-2x ............. x

Ho indicato con x la distanza percorsa dall'uomo (es. il primo tratto x) e dalla donna (es. l'ultimo tratto x) a piedi. Quindi
$10-2x+x = 10-x$
è la distanza percorsa dall'uomo (e prima anche dalla donna) in bici.

Il tempo per fare i 10 km sarà:

$t = x/2 + (10-x)/12 = (6x+10-x)/12 = (10 + 5x) / 12$

Lo stesso stempo t dovrà essere impiegato dal cane, che farà un percorso totale pari a

$(x+10-2x)+(10-2x)+(10-2x)+x= (x+10-2x+x) + (10-2x ) + (10-2x) = 10 + (10-2x) + (10-2x) = (20 - 2x ) + (10 - 2x)$

Il primo termine è percorso a "zampe" alla velocità di 4 km/h, il secondo in bici alla velocità di 16 km/h:

$t = (20-2x)/4 + (10-2x)/16 = (80-8x+10-2x)/16 = (90-10x)/16 = (45 - 5 x) / 8$

Uguagliando:

$(10+5x)/12 = (45-5x)/8$

$20+10x = 135-15x$

$25x = 115$

$x = 4,6 km$ ... (percorsi dagli umani a piedi)

$(10-2x) =0,8 km $ ... percorsi in più dal cane, una volta in bici (a ritroso) e l'altra a piedi

Ciao
Nino

[nino_]

Tre amici, Aldo, Berto e Carlo, devono recarsi in una città distante 55 km.
Essi dispongono di una bicicletta, sulla quale possono salire in due, uno che pedala e l'altro che viene trasportato sulla canna.

Decidono pertanto che Aldo procederà a piedi a 4 km l'ora, mentre gli altri due andranno in bicicletta a 20 km orari sino ad un certo punto; qui Carlo scenderà dalla bicicletta e continuerà a piedi, a 4 km/h, fino al termine.
Berto invece tornerà indietro a 30 km/h (da solo va più veloce), e, raggiunto Aldo, insieme proseguiranno in bicicletta fino a destinazione, alla velocità oraria di 20 km.

A quale distanza dal punto di partenza dovrà retrocedere la bicicletta affinché i tre amici possano arrivare insieme?

Se interessa la soluzione:

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Poiché Aldo e Carlo fanno un tratto a piedi a 4 km/h (uno all'inizio e l'altro alla fine del percorso) e un altro tratto a 20 km/h, ed impiegano lo stesso tempo per percorrere i 55 km, la lunghezza dei loro tratti a piedi (e di quelli in bicicletta) deve essere uguale.

Se chiamiamo $S1 $ il tratto percorso a piedi, avremo:

Tempo impiegato da Aldo e Carlo:
$(S1)/4 + (55-S1)/20$

Tempo impiegato da Berto:
$2*(55-S1)/20 + (55-2S1)/30$

Uguagliando:
$15S1 + 165 -3S1 = 330 -6S1 +110 -4S1$
$22S1 = 275$
$S1 = 12,5 km$

quindi, l'inversione si verificherà al chilometro $(55-12,5) = 42,5 $