Salita e discesa---I libri

[al_berto]

Buongiorno,

Salita e discesa
Faccio un'escursione in montagna.
La salita è relativamente ripida ma accessibile. Vado al mio passo; talvolta lentamente e talvolta più velocemente.
L'indomani attacco la discesa; percorro i passaggi scoscesi lentamente, e quelli più agevoli, rapidamente.
È chiaro che ho impiegato più tempo a salire che a scendere.
La domanda è questa:
Partendo ogni volta alla stessa ora, esiste un punto della discesa per il quale sono passato allo stesso momento (alla
stessa ora) il giorno della salita, e perchè?

I libri
Un libraio acquista dei libri per 80 €.
Con 4 libri di più, per lo stesso prezzo totale, ogni libro sarebbe costato 1 € di meno.
Quanti libri?
Grazie.
aldo

[Brancaleone]

I libri

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Ipotizzando che tutti i libri abbiano lo stesso prezzo la soluzione si trova risolvendo il sistema

${ ( nc=80 ),( (n+4)(c-1)=80 ):}$

dove $n$ è il numero dei libri acquistati, $c$ è il costo di ogni libro e valgono rispettivamente $16$ e $5$.

[al_berto]

Ciao,
@Brancaleone e a tutti:
Sì, ogni libro ha lo stesso prezzo.
aldo

[axpgn]

Libri

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Detto $L$ il numero di libri iniziale e $p$ il prezzo iniziale di ogni libro abbiamo questo sistema ${(80=Lp),(80=(L+4)(p-1)):}$ e risolvendolo otteniamo $L=16$ e $p=5$.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Salita e discesa

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Sì, esiste.

Una dimostrazione potrebbe essere questa ...

Poniamo $d$ la lunghezza dell'ascesa.
Poniamo $t_i$ l'istante della giornata in cui inizio il percorso (sia per la salita che per la discesa).
Poniamo $t_f$ l'istante in cui termino la discesa. Allo stesso istante (del giorno precedente, ovviamente ...) mi troverò al punto $x_1$ della salita.
Ciò significa che mentre scendevo sono passato dal punto $x_1$ all'istante $t_1$ che è precedente a $t_f$ ma posteriore a $t_i$.
Mentre salivo, all'istante $t_1$ mi trovavo nel punto $x_2$ posto più in basso del punto $x_1$.
Ricapitolando, esiste un istante $t_1$ con $t_i<t_1<t_f$ in cui ho $d_1=x_1-x_2$ tale che $d_1<d$.
Reiterando questo procedimento (eventualmente all'infinito) si può notare che avrò un istante $t_n$ tale che $d>d_1>d_2>...>d_n=0$

Cordialmente, Alex

[nino_]

Buona escursione!

Su un foglio di carta tracci due segmenti paralleli (es. a distanza 5 cm). Li unisci con un segmento perpendicolare che li incrocia in A e B. Da A e da B segni verso destra dei trattini a distanza uguale, che indicano le ore della giornata (0-1-2-...-24).
Dal segmento inferiore, parti ad es. alle 08:00 e segni una linea come vuoi tu fino a raggiungere il segmento superiore, cui arrivi ad es. alle 16;00.
Fai lo stesso in discesa partendo dal segmento superiore (alla stessa ora 08:00 del giorno prima), fino ad arrivare al segmento inferiore. In qualunque modo ci arrivi (cioè con una pendenza più o meno ripida), vi giungerai sempre dopo le 08:00 della partenza e quindi dovrai per forza jncrociare sempre (nello stesso orario dell'andata) la linea del tempo del percorso di salita.

[al_berto]

Buonasera,

Salita e discesa

Soluzione

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Mi pare che ci siamo, siamo d'accordo che il punto esiste.
Per immaginare la soluzione forse più chiaramente, facciamo l'ipotesi che mio fratello-gemello faccia esattamente lo stesso percorso, nei minimi dettagli, il giorno dopo, il giorno in cui attacco la discesa. Dunque: mio fratello sale, io scendo. È chiaro, che ad un certo momento ci incroceremo. Non si può dire invece dove quest'incrocio avvenga…

ciao a tutti.
aldo