determinare le coppie di interi (x;y) tali che...

[iMatteo1]

Determinare tutte le coppie (x, y) di numeri interi tali che:

$ x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006 $

se non vi crea disturbo, invece di dirmi direttamente la soluzione e il procedimento completo, potreste darmi solo qualche suggerimento? Sono nuovo di questi esercizi e vorrei imparare un po' a po' a ragionarci e a risolverli autonomamente. Grazie

[Pachisi]

Puoi notare che sia $x$ che $y$ devono essere pari.

[iMatteo1]

Ci avevo già pensato, ma non riesco a trovare un modo per sfruttarlo

[Pachisi]

Prova a fare una sostituzione per $x$ e $y$ (essendo pari si possono scrivere in quale forma?), e vedi cosa riesci a dire sui tuoi nuovi numeri (ottieni un'equazione molto simile a quella originale. Cosa puoi concludere?).

[iMatteo1]

grazie per l'aiuto, penso di aver risolto:

essendo $ x $ e $ y $ pari posso scriverli come

$ x=2n $ e $ y=2m $

quindi trovo che

$ n^4+9m^4+3m^2n^2=2^4008*3^2006 $

lo stesso passaggio posso ripeterlo fino a che l'esponente del 2 non diventa 0, quindi posso scrivere che

$ x=2^1003*n $ e $ y=2^1003*m $ (dove m ed n sono diversi da quelli di prima) e che

$ (2^1003*n)^4+3(2^1003*n)^2(2^1003*m)^2+9(2^1003*m)^4=2^4012*3^2006 $

$ 2^4012*(n)^4+3*2^2006*(n)^2*2^2006*(m)^2+9*2^4012*(m)^4=2^4012*3^2006 $

$ (n)^4+3*(n)^2*(m)^2+9*(m)^4=3^2006 $


a questo punto essendo necessariamente sia $ 3*n^2*m^2 $ e $ 9*m^4 $ multipli di 3, anche $ n^4 $ deve esserlo

e per esserlo deve essere $ n=3*p $ quindi

$ 3^4*(p)^4+3*3^2*(p)^2*(m)^2+3^2*(m)^4=3^2006 $

$ 9*(p)^4+3*(p)^2*(m)^2+(m)^4=3^2004 $

faccio lo stesso lavoro con m=3h e poi di nuovo con p=3... e così via fino a che non si annulla anche l'esponente del 3, quindi

$ n=3^502*p $ e $ m=3^501*h $ e

$ 9*p^4+h^4+3*p^2*h^2=1 $

le soluzioni intere di questa equazione sono solo p=0 e h=1 quindi

$ n= 3^502*0=0 $
$ x=0 $

$ m=3^501*1 $
$ y=2^1003*3^501 $


l'unica soluzione è questa, giusto? c'è un modo più veloce? Grazie per il tuo aiuto

[Pachisi]

Hai mancato una soluzione. Sostituendo $x=0$ nell'equazione originale, trovi che $9y^4=12^2006$, quindi le soluzioni sono $y=2^1003*3^501 $ e $ y=-2^1003*3^501 $.

[iMatteo1]

Ah, giusto, mi ero dimenticato che x e y dovevano essere interi ma non necessariamente naturali, grazie.

[Pachisi]

Di niente

[Esperanto]

L'equazione di partenza è resa apparentemente stimolate per via della potenza 2006 ma in realtà è una banale biquadratica.
Sostituisci W a \(x^2\) e Z a \(y^2\) e ottieni \(W^{2} + 3WZ + 9 Z^2 = 12^{2006}\)
che si risolve banalmente in

$W = \frac{-3Z \pm \sqrt{(3Z)^2 - 4(1) (9 Z^2 -12^{2006})}}{2} = \frac{-3Z \pm \sqrt{( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006}))}}{2}$
Razionalizziamo e otteniamo
$9Z^2 - ( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006})) = 4 (9Z^2) - 4 (12^{2006})) = 2^2 3^2 Z^2 - 2^2 2^4012 3^2006$
Dividiamo tutto per \(2^2 3^2\) e otteniamo \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) che si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\)
da cui $Y = \sqrt{Z} = 2^{1003} 3^{501}$

Conclusione: tutti i passaggi sono standard per la risoluzione di una biquadratica classica.
Il tutto vale sempre se mettiamo $12^{2p}$ con p>=1 nel nostro caso sarebbe p = 1003.
Lo sforzo mentale è legato alla scomposizione/aggregazione dei numeri per mantenere il calcolo a livello simbolico.

La soluzione è unica (ovviamente con il + e il - davanti) perchè, 12 non ha altri divisori che 2 e 3 e quindi non esistono altri numeri che possano portare a valori interi sotto radice e nei rapporti.

Abbastanza lineare?
Ciao.

[iMatteo1]

L'equazione di partenza è resa apparentemente stimolate per via della potenza 2006 ma in realtà è una banale biquadratica.
Sostituisci W a \(x^2\) e Z a \(y^2\) e ottieni \(W^{2} + 3WZ + 9 Z^2 = 12^{2006}\)
che si risolve banalmente in

$W = \frac{-3Z \pm \sqrt{(3Z)^2 - 4(1) (9 Z^2 -12^{2006})}}{2} = \frac{-3Z \pm \sqrt{( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006}))}}{2}$
Razionalizziamo e otteniamo
$9Z^2 - ( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006})) = 4 (9Z^2) - 4 (12^{2006})) = 2^2 3^2 Z^2 - 2^2 2^4012 3^2006$
Dividiamo tutto per \(2^2 3^2\) e otteniamo \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) che si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\)
da cui $Y = \sqrt{Z} = 2^{1003} 3^{501}$

Conclusione: tutti i passaggi sono standard per la risoluzione di una biquadratica classica.
Il tutto vale sempre se mettiamo $12^{2p}$ con p>=1 nel nostro caso sarebbe p = 1003.
Lo sforzo mentale è legato alla scomposizione/aggregazione dei numeri per mantenere il calcolo a livello simbolico.

La soluzione è unica (ovviamente con il + e il - davanti) perchè, 12 non ha altri divisori che 2 e 3 e quindi non esistono altri numeri che possano portare a valori interi sotto radice e nei rapporti.

Abbastanza lineare?
Ciao.

ciao, mi sembra un procedimento decisamente più semplice , solo non ho capito una cosa: quando razionalizzi tu presupponi che W=0 (trovi Z poichè \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\) ), come fai a sapere per certo già a quel punto che W=0?