Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda al_berto » 30/01/2015, 18:14

Buonasera.

Eguaglianza.
Un alunno scrive su un foglio la seguente eguaglianza :
XI+I=X
Quale è il modo più semplice per rendere corretta questa eguaglianza?

Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda fhabbio » 30/01/2015, 23:31

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Eguaglianza
XI-I=X

Per quanto riguarda invece i rettangoli isoperimetrici, ho pensato di considerare tutti i rettangoli di perimetro $P$, considerare un lato in funzione dell'altro (tenendo fisso il perimetro) e poi di trovare la funzione area in funzione del lato variabile.

Più facile a farsi che a dirsi ecco qui.

Siano $a$ e $b$ i lati di un rettangolo di perimetro $P$

$P=2a+2b$

allora $b$ in funzione di $a$ è banalmente

$b=(P-2a)/2$ [1]

dunque l'area $A=a*b$ diventa

$A=1/2a*(P-2a)$ [2]

con $a$ che varia tra $0$ e $P/2$ (estremi esclusi)
questa è la parabola rappresentativa della variazione dell'area in funzione di $a$ di tutti i rettangoli isoperimetrici

possiamo agevolmente calcolarci il massimo di questa parabola (esso vale $A_(max)=1/16 P^2$ per $a=1/4P$ da cui ne consegue $b=1/4P$...insomma un quadrato)

ora, visto che sappiamo che la nostra funzione area assume tutti i valori tra $0$ e $1/16 P^2$ possiamo dunque prendere a nostro piacimento un area $A_1$ in questo range, sostituirla nella [2] e trovare la rispettiva $a$
poi facciamo lo stesso ponendo in questo caso l'area uguale ad n-volte $A_1$ dove n è un numero intero positivo.
L'unica accortezza che bisogna però avere è la seguente:
è necessario infatti che $A_1$ sia sufficientemente piccolo tale che moltiplicandolo per n (intero positivo) non si ottenga un valore superiore a $A_(max)=1/16 P^2$, altrimenti non avremmo soluzioni reali.

Personalmente l'ho fatto per un area pari proprio alla metà dell'area massima e funziona...
ma se funziona per uno, la matematica ci insegna che non è detto che valga per tutti eheh xD
spero comunque che sia corretto... :smt023
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda orsoulx » 31/01/2015, 07:05

L'uguaglianza è corretta,
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
è l'insegnante che la guarda dalla parte sbagliata.

Per la seconda occorrerebbe sapere a quale insieme numerico devono appartenere le misure dei lati.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda Brancaleone » 31/01/2015, 12:10

Rettangoli isoperimetrici
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ipotizzando che l'area del secondo rettangolo sia il doppio del primo, una possibile soluzione è che il primo misuri $12 times 2$ e l'altro $6 times 8$.
Eliminato l'impossibile ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità.
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda nino_ » 31/01/2015, 12:24

al_berto ha scritto:Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Possibili soluzioni dei lati (multipli dell'area 2 - 3 - 6 - 8)
3 e 4 | 6 e 1
9 e 4 | 12 e 1
9 e 16 | 24 e 1
9 e 64 | 72 e 1
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda Brancaleone » 31/01/2015, 14:30

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se può interessare (e se ho eseguito correttamente) con questo codice si trovano le corrispondenze per basi e altezze $in NN$ inferiori a 100 - codice in Visual Basic, eseguibile su Excel. I risultati già usciti però possono ricomparire perché si invertono basi e altezze - non ho voglia di affinarlo :-D

Codice:
Option Explicit

Sub Macro1()
Dim B1, H1, P1, B2, H2, P2, A1, A2

H1 = 1

Ritorna:
B1 = 1
B2 = 1


For B1 = B1 To 100
    P1 = 2 * (B1 + H1)
    A1 = B1 * H1
   
    H2 = 1
Ritorna2:
    For B2 = B2 To 100
        P2 = 2 * (B2 + H2)
        A2 = B2 * H2
       
        If P2 = P1 Then
            If (A1 Mod A2 = 0 Or A2 Mod A1 = 0) And A1 <> A2 Then
                MsgBox ("Ho trovato una possibile combinazione!" & vbCrLf & "B1 = " & B1 & vbCrLf & "B2 = " & B2 & vbCrLf & "H1 = " & H1 & vbCrLf & "H2 = " & H2 & vbCrLf & "P1 = " & P1 & vbCrLf & "P2 = " & P2 & vbCrLf & "A1 = " & A1 & vbCrLf & "A2 = " & A2)
            End If
        End If
    Next B2
       
    H2 = H2 + 1
    If H2 <= 100 Then GoTo Ritorna2:
    B2 = 1
Next B1

H1 = H1 + 1
If H1 <= 100 Then GoTo Ritorna
End Sub
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda al_berto » 31/01/2015, 17:08

Buongiorno.
@fhabbio
Eguaglianza:
la tua risposta è corretta, ma occorre cancellare il $+$ e scrivere il $-$. C'è un modo più semplice.
Rett. isop.:
Esiste una formula che funzioni per tutti i rapporti tra le aree?
@orsoulx
Eguaglianza:
secondo te il modo più semplice è quello di chiamare un insegnante? :wink:
@Brancaleone:
OK va bene, ma che metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?
@nino
OK va tutto bene, ma un lato deve essere per forza 1?
Esiste una formula che funziona per tutti i rapporti tra le aree?

Grazie a tutti per le Vs risposte.
aldo
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda nino_ » 31/01/2015, 17:36

Per l'uguaglianza, basta leggere dopo aver capovolto il foglio

al_berto ha scritto:metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?
@nino
OK va tutto bene, ma un lato deve essere per forza 1?

aldo


Certo che no.
Trovati i primi 4 termini, si possono moltiplicare tutti per n
a=3; b=4; A=6; B=1 ----> n=2
a, b ----> a+b-1, 1
2a, 2b ----> 2a+2b-2, 2
3a, 3b ----> 3a+3b-3, 3
ecc...

Per la formula generale, non l'ho trovata, magari ci penso più tardi
nino_
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda orsoulx » 31/01/2015, 17:51

al_berto ha scritto:Un alunno scrive...


Di solito dove c'è un alunno ci sta pure l'insegnante ;-)

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Messaggioda nino_ » 31/01/2015, 18:28

nino_ ha scritto:Per la formula generale, non l'ho trovata, magari ci penso più tardi


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se chiamo $n$ il rapporto intero fra le due aree ( $n>=2$ ) i primi 4 termini validi (lato minore ; lato maggiore del rettangolo ad area multipla //// lato maggiore ; 1 dell'altro rettangolo) possono essere:

$ n+1 ; n^2 //// n*(n+1) ; 1 $

Per gli altri basta moltiplicare tutti i termini per i numeri naturali.

Facendo la somma (semiperimetro):
$n + 1 + n^2 = n^2 + n + 1 $

Facendo il rapporto dei prodotti (aree):
$ (n^2*(n+1))/(n*(n+1)) = n $

Es. $n=5$
$ 6 ; 25 //// 30 ; 1 $

$n=11$
$ 12 ; 121 //// 132 ; 1 $

ecc...

Non so (anche se presumo) se siano gli unici casi possibili
nino_
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