axpgn ha scritto:Posteresti il ragionamento che hai fatto? Grazie.
Certo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ho pensato prima agli spigoli orientati dalle estremità dorate, assimilabili a vettori; numerando i vertici a seconda di quanti vettori ne escono, ci sono quattro possibilità: 3, 2, 1, 0; 2, 2, 1, 1; 3, 1, 1,1; 0, 2, 2, 2.
Nel primo caso abbiamo 2 tetraedri distinguibili. Guardando, ad esempio, dal vertice 3 verso il piano (0,1,2) possiamo vedere questi vertici, in odine crescente, individuare una rotazione con verso orario o antiorario. In ciascun tetraedro possiamo colorare gli spigoli in 6!=720 maniere diverse, quindi 1440 colorazioni.
Il secondo caso si rivela analogo, perchè la coppia di 2 è collegata da uno spigolo che col suo orientamento permette di distinguere 2a da 2b e lo stesso per 1a e 1b. Ancora 1440 colorazioni.
Negli ultimi due casi, anche loro analoghi, i vettori non consentono di individuare univocamente i vertici. Ad esempio nel terzo caso guardando dal vertice 3 possiamo solo distingure se i vettori danno una rotazione oraria o antioraria (2 casi). Possiamo allora colorare gli spigoli che escono dal vertice 3 in \( \binom{6}{3} = 20 \) maniere diverse. Ancora una volta, numerando i colori possiamo, però distinguere 2 rotazioni opposte; a questo punto i restanti spigoli possono essere colorati in 3!=6 modi distinti, per un totale di \( 2\cdot 20 \cdot2 \cdot6=480 \) colorazioni.
3840 è la somma dei risultati parziali trovati. Questo numero è esattamente un dodicesimo delle
\( 6! \cdot 2^6=46080 \) colorazioni pensabili, perciò credo esista un percorso più veloce per trovarlo.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.