11 per 100

[axpgn]

Ci sono undici modi diversi per rappresentare cento sotto forma di numero misto utilizzando una e una sola volta tutte le nove cifre (zero escluso).
Dieci di questi hanno la parte intera in doppia cifra mentre l'undicesimo ne ha una sola.
Qual è quest'ultimo? ... se poi avete tempo anche gli altri dieci ...

Cordialmente, Alex

[vict85]

A cosa ti riferisci esattamente con numero misto? Insomma se sommi una frazione propria con un numero intero, ovvero la definizione che so io, non puoi avere 100. Quindi devo supporre tu stia sommando un intero con una frazione impropria o più di una.

[axpgn]

Numero intero più una frazione impropria (anzi apparente).

Ovviamente, come giustamente dici, non può essere propria e più di una non sarebbe un numero misto ma un miscuglio ...

Si vede che un tempo non si facevano molti problemi ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Nessuno ? Con la strategia giusta si possono trovare tutti in un tempo ragionevole ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Usando solo la calcolatrice, la soluzione monocifra l'ho trovata:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\(\displaystyle 3+\frac {69258} {714} \)

Per quelle con due non mi ci metto proprio.
Ciao

[vict85]

In che senso hai usato la calcolatrice? Comunque penso si possa fare con il solo ragionamento.

[axpgn]

Beh, qualche conto bisogna pur farlo ... ... a mente magari ma necessario ...
Volendo si può fare tutto a mano ma con l'ausilio di una semplice calcolatrice che faccia le quattro operazioni è meglio ...

@orsoulx
Che metodo hai usato? Voglio dire, hai usato qualche strategia particolare o "solamente" conti (si fa per dire, eh ... ) ?

Comunque ti posso assicurare che in un'oretta (o poco più) si trovano tutti ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Indicando con i l'intero da una cifra, con n il numeratore e d il denominatore della frazione; n dovrà essere di 5 cifre e d di 3.
Deve valere la relazione n=(100-i)*d, che considerata modulo 9 diventa n=(10-i)*d, con l'ulteriore condizione i+d+n=0, perché la somma dei numeri da 1 a 9 è 45, multiplo di 9.
Non può essere i=1, perché in questo caso la prima cifra del numeratore e del denominatore sarebbero uguali, e neppure i=9, perché lo sarebbero le ultime. Restano solo quattro casi possibili per i residui modulo 9: (i,n,d)=(3,3,3); (4,3,2); (6,6,6); (7,6,5). La seconda cifra del denominatore deve, inoltre, essere molto più piccola della prima: ho provato, con la calcolatrice, una decina di moltiplicazioni prima di trovare il valore cercato.
Ciao

[axpgn]

Molto, molto bene!

La mia strategia mira solamente a ridurre grandemente il numero dei conteggi da fare; aspetto ancora un po' (casomai qualcuno ci provasse ...) e poi la posto.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Il procedimento che ho seguito utilizza principalmente la proprietà di cui avevo scritto qui.
Ecco tre esempi ...

$99:$ da scartare per il doppio nove (vabbè, si parte sempre dal facile ... )

$98:$ dato l'intero $n$ chiamiamo $c_n$ la somma reiterata delle cifre che lo compongono, quindi in questo caso in qualunque modo si distribuiscano le cifre tra numeratore e denominatore avremo che $c_(DEN)+c_(NUM)=1$ (in quanto la somma reiterata delle cifre dall'uno al sette è pari a uno).
Quindi le coppie $(c_(DEN);c_(NUM))$ possibili sono $(1,9);(2,8);(3,7);...$.
La suddetta proprietà vale anche per il prodotto e dato che $(NUM)/(DEN)=2\ =>\ 2*DEN=NUM$ avremo che $2*c_(DEN)=c_(NUM)$; da ciò discende che NESSUNA coppia $(c_(DEN);c_(NUM))$ soddisfa entrambe le condizioni (abbiamo che $2*1=2!=9;2*2=4!=8;2*3=6!=7;...$).
La conclusione è che $98$ è da scartare.

$97:$ ripetendo la procedura precedente troviamo una coppia $(c_(DEN);c_(NUM))$ possibile e cioè $(5;6)$.
Concentriamoci sul denominatore. Il più piccolo possibile è $334$ che però non ha $c_(334)=1$ uguale a $5$.Il primo con questa caratteristica è $338$, che scartiamo per il doppio tre; passiamo al successivo che però non è $339$ ma $347$ in quanto i numeri che hanno la stessa $c_n$ si ripetono ogni nove unità; questo fatto riduce i potenziali denominatori da mezzo migliaio ad una cinquantina.
Proseguiamo, anche $347$ è da scartare (il sette c'è già); passiamo a $356$ che il primo vero denominatore possibile, scartato anch'esso perché il numeratore $3*356=1068$ contiene lo zero; da qui per trovare un denominatore "buono" dobbiamo arrivare a $428$ scartando $365$ (per il cinque), $374$ (per il sette), $383$ (doppio tre), $392$ (per il nove), $401$ e $410$ (per lo zero)e $419$ (per il nove).
In pratica, per arrivare alla conclusione che anche l'intero $97$ è da scartare bastano una decina di moltiplicazioni (per tre ...)

Inoltre, proseguendo, si può notare che se un intero è da scartare perché non ha coppie valide, lo stesso vale per il suo "riflesso": così come scarto $98$, per lo stesso motivo scarto $89$.
E man mano che "scendiamo" il range (teorico) dei denominatori da indagare si restringe: per esempio passiamo dal mezzo migliaio del $97$ alla cinquantina scarsa del $32$.

Comunque il $96$ è buono, molto buono ...

Cordialmente, Alex