$n$ e $n+312$ sono palindromi

[Gi8]

Sia $n$ un numero naturale palindromo di $4$ cifre tale che $n+312$ è anch'esso palindromo e ha $5$ cifre.
Quanto vale $n$?

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

9889

nel caso, anche in questa sezione fosse necessaria, la dimostrazione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la prima cifra di n+312 non può che essere 1 e la seconda 0. Le ultime dovranno essere le medesime...

Ciao

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$9889$

La prima cifra di $n$ non può che essere $9$ così anche l'ultima; esistono solo tre candidati tali per cui $9\* \*9+312$ sia di cinque cifre e sono $9779, 9889, 9999$ ma l'unico tale per cui sia palindromo anche $n+312$ è $n=9889$

Cordialmente, Alex

[Gi8]

Ottimo!

[kobeilprofeta]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

sia x il numero a 4 cifre.
sappiamo che $x+312>10000 => x>9688$
quindi x inizia e termina con 9.
$x=9000+100*a+10*a+9=9009+110*a$
$x+312=9321+110*a$

sia y il numero a 5 cifre
$y<1312$
quindi y inizia e termina con un 1
$y=10000+1000*b+100*c+10*b+1=10001+1010*b+100*c$

ho $9321+110*a=10001+1010*b+100*c => 680=110*a-1010*b-100*c$
quindi $11a-101b-10c=68 => 11a-10c=68+101b$
noto che b deve valere 0, perché anche se valesse 1, mi troverei un numero troppo alto a destra
rimane $11a=68+10c$
$11a>67 => 7<=a<=9$
il numero a destra termina con un 8... da cui $a=8 => x=9889 => y=10201$

[Black Magic]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il numero $x$ è tale che $9688<x<10000$. Gli unici palindromi tali con questa proprietà che abbiano per prima e ultima cifra 9 sono $9779, 9889, 9999$.
Analogamente, si vede che il numero $n+312$ non può valere più di $9999+312$ e in questo range abbiamo come palindromi accettabili solo $10001, 10101, 10201, 10301$ di cui primo e ultimo si scartano immediatamente.
Non occorre sommare per rendersi conto che l'unico calcolo che può ammettere la soluzione è $9889+312$ ($9999$ si scarta subito e si vede facilmente che $9779+312$ è sopra $10001$ ma sotto $10101$.

[Gi8]

Rilancio: trovare tutti gli $n in NN$ palindromi tali che $n+312$ è palindromo

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ve ne sono altri dieci tre: otto uno con due cifre, uno con una cifra ed uno con tre cifre.

Ciao