Dove abita?

[axpgn]

Ad un cocktail party a New York ho conosciuto Stephanie.
Ho scambiato il mio numero di telefono con il suo con la promessa di risentirci.
Quando mi ha chiamato per invitarmi a casa sua, mi ha dato queste indicazioni:
"È una strada molto lunga.
Le case, dal lato della strada dove abito, sono numerate progressivamente partendo dall'uno in questo modo $1, 2, 3, ...$.
La somma dei numeri delle case che si trovano a destra della mia è pari allo somma di quelle che stanno a sinistra.
So per certo che ci sono più di cinquanta case sul mio lato della strada ma sicuramente meno di mezzo migliaio ..."
Qual è il numero della casa di Stephanie?

Cordialmemte, Alex

[orsoulx]

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204

Rilancio: e se la numerazione fosse quella consueta in Italia 1, 3, 5....?
Il metodo cambia notevolmente (è più facile).
Ciao

[JackMek]

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239

[axpgn]

@orsoulx



@JackMek

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Ma hai risposto al rilancio? Perché $239$ è la risposta al quesito di orsoulx ...

E se invece la numerazione fosse come in Italia ma dall'altro lato (cioè $2, 4, 6, ...$) ?

Cordialmente, Alex

[JackMek]

Si era la risposta al rilancio mi sono scordato di scriverlo

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O forse no

Ririsposta del ririlancio

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408

[orsoulx]

Concordo con entrambi.
Ciao

[bassi0902]

Potete spiegarmi il metodo di ragionamento piú efficace? Io ci sono arrivato ma in una maniera molto complicata:

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ho impostato il calcolo ponendo $N$ il numero totale di case e $n$ il numero civico della casa di Stephanie, a quel punto ho ottenuto la condizione $$ n = \sqrt{\frac{N(N+1)}{2}} $$
con il vincolo $50 < N < 500$. Da qui a trovare il valore di $n$ ci ho messo un po' perché ho cercato di trovare un valore di $N$ tale per cui la radice quadrata nella formula venisse un numero intero.. peró per quest'ultimo passaggio ho dovuto scomodare strumenti avanzati e ho trovato $ N = 288 $ da cui risulta $ n = 204 $.

Sono sicuro che c'é un modo semplice che mi sfugge. Aiutatemi!

[JackMek]

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Non mi sembra una maniera complicata.
Basta ragionare sulla radice.

Se si vuole fare qualcosa in più, in pochi passaggi ottieni una equazione diofantea abbastanza conosciuta.

Ma non serve, ragiona sulla radice e sul suo contenuto e arrivi alla soluzione in neanche mezzo minuto

[orsoulx]

Aiutatemi!

Se per strumenti avanzati intendi un computer, allora ti posso mostrare come se ne può fare a meno.

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L'equazione diofantea, corretta, che hai scritto, si può mettere nella forma $ N^2+N-2n^2=0 $, che risolta rispetto ad N porta a $ 2N=-1+\sqrt{1+8n^2} $. Il radicando deve essere un quadrato, diciamo il quadrato di q. In questo modo si ottiene $ q^2-8n^2=1 $ , che è un'equazione di Pell (in rete trovi abbondante materiale sull'argomento).
La soluzione più semplice di quest'equazione corrisponde alla situazione degenere in cui la casa di Stephanie è l'unica su quel lato della strada: $ n=1, N=1, q=3 $.
Elevando il binomio $ 3+\sqrt 8 $ ad una qualsiasi potenza ad esponente intero positivo si trovano tutte le altre:
$ (3+ \sqrt 8)^2=17+6 \sqrt(8) $, cioè $ n=6, N=8, q=17 $;
$ (3+ \sqrt 8)^3=99+35 \sqrt(8) $, cioè $ n=35, N=49, q=99 $;
$ (3+ \sqrt 8)^4=577+204 \sqrt(8) $, cioè $ n=204, N=288, q=577 $
............

La soluzione dei rilanci è, invece, diversa e più semplice.
Ciao

[bassi0902]

Grazie a tutti, l'ultimo passaggio mi sembra ancora un po' tenebroso ma mi sto documentando sulle equazioni diofantine per fare chiarezza.