Rettangolo da cancellare

[milizia96]

Alberto e Barbara fanno un gioco che si svolge su un rettangolo composto da $n\times m$ caselle unitarie.
Iniziando da Alberto, il giocatore di turno deve scegliere una casella $C$, che viene cancellata. Inoltre, ogni casella che non si trovi più in basso o più a sinistra rispetto a $C$ viene cancellata allo stesso modo. Ogni casella cancellata, chiaramente, non potrà più essere scelta. Dopo di che il gioco passa all'altro giocatore.

Chi cancella l'ultima casella perde.
In base alle dimensioni iniziali del rettangolo, quale dei due giocatori ha una strategia vincente?

[xXStephXx]

Ho un dubbio sulle mosse Se il primo giocatore cominciasse cancellando la seconda casella più a sinistra dell'ultima riga, poi resterebbe una sola casella?

[milizia96]

Scusa, mi ero espresso in modo sbagliato, ora ho corretto

[xXStephXx]

Ah bello! Anche così dovrebbe bastare una considerazione, ma più sottile della precedente, giusto?

[milizia96]

Molto più sottile, direi

[milizia96]

Va beh, vi dico la risposta, provate a dimostrarla:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se il rettangolo è $1\times 1$ vince Barbara, in tutti gli altri casi vince Alberto.

[axpgn]

Eh, vabbè, fino a lì c'ero arrivato (più o meno), è il resto che mi manca ...

Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

Non ero riuscito a trovare una strategia vincente Ma in qualche modo è la struttura stessa del gioco che consente di dire chi vince. Cioè Alberto vince se con la prima mossa riesce ad ottenere una configurazione perdente (per chi se la ritrova). E Barbara vince se (partendo dalla configurazione che si ritrova) con la sua prima mossa riesce a passare ad Alberto una configurazione perdente... Ora, pure senza sapere quali sono le configurazioni perdenti, magari Alberto può "anticipare" l'eventuale mossa vincente di Barbara Rimane da capire come xD

[axpgn]

Scusa Steph ma tutti i giochi di questo tipo funzionano così, cioè devi lasciare all'avversario una situazione comunque perdente (se esiste); il problema sta nel trovarla (e questo spesso si può almeno congetturare) ma ancor di più nel dimostrarla , che è quello che vuole milizia

Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

Scusa Steph ma tutti i giochi di questo tipo funzionano così, cioè devi lasciare all'avversario una situazione comunque perdente (se esiste); il problema sta nel trovarla

Non so se si deve trovare davvero. In teoria basta capire che c'è Poi sono così tutti i giochi, ma qui ragionando sulle prime due mosse (la prima di Alberto e la prima di Barbara) viene fuori una particolarità che consente ad Alberto di poter sempre trovare la configurazione giusta.

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In fondo le configurazioni che può raggiungere Barbara con la sua prima mossa... non sono troppo diverse da quelle che poteva raggiungere Alberto sin da subito... no?