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Nessuna divisione (anche se teorica), solo addizione ...

axpgn ha scritto:Nessuna divisione (anche se teorica),

Mi pare tu stia rispondendo come quello che sosteneva non servisse sollevare l'auto per cambiare una gomma. Bastava girare la manovella del cric!
Che poi una sola addizione sia, in generale, sufficiente, è tutto da vedere. Magari ne servono più di una.

Ciao

No, la conclusione è la stessa ma il presupposto è diverso.

E' sufficiente la somma (reiterata) delle cifre del numero. E basta.
Perché se chiamiamo $c_n$ la cifra che risulta dalla somma reiterata delle cifre del numero $n$ allora abbiamo che $a+b=c\ =>\ c_a+c_b=d\ =>\ c_d=c_c$ ed anche $a*b=c\ =>\ c_a*c_b=d\ =>\ c_d=c_c$.
Quindi se il numero $n$ è un quadrato allora $c_n$ è una delle cifre $1,4,7,9$.

Si arriva alla stessa conclusione ma da una strada diversa (niente divisioni nè resti)

Cordialmente, Alex

... e quando mai ho sostenuto, e men che meno Pachisi, che per trovare il resto occorresse far la divisione.
Il resto della divisione per 9, lo insegnano le maestre, si trova sommando le cifre e poi sommando (altra somma diversa dalla prima) le cifre del risultato se sono più di una... e togliendo 9 quando si ottiene questo risultato. Ci sono anche delle scorciatoie, ad esempio eliminare subito tutti i 9 o le coppie di cifre che sommate danno 9... è la base della prova del 9 per le operazioni.

Ciao

axpgn ha scritto:Se chiamiamo $ c_n $ la cifra che risulta dalla somma reiterata delle cifre del numero $ n $ allora abbiamo che $ (a+b=c)\wedge (c_a+c_b=d) => (c_d=c_c) $ ed anche $ (a*b=c) \wedge (c_a*c_b=d) =>(c_d=c_c)$.

E come dimostri queste due proprietà?

Ditemi quello che volete, ma io, il procedimento di axpgn, non lo ho capito...

@orsoulx

Scusami orsoulx ma la divisione e relativo resto non l'ho tirata fuori io, non ti pare?

Pachisi ha scritto:Residui quadratici modulo $9$?

orsoulx ha scritto:Il resto della divisione per 9 ...

Pachisi ha scritto:Quando un quadrato viene diviso per $3$ ottengo come resto $1$ o $0$. Il resto di quel numero quando viene diviso per $3$ (criterio di divisiblita` per $3$) e` $2$, quindi non e` un quadrato.

Poi, non ho mai detto che devi fisicamente farla per trovare il resto tant'è che ho parlato anche di "nessuna divisione (anche se teorica)."
Però il metodo proposto presuppone che ci sia una divisione e ci sia un resto (quantomeno a livello teorico), isn't it? Il mio, no.

Penso perciò di poter concludere che il procedimento che ho usato è DIVERSO da quello che avete proposto (che non implica né migliore né più veloce et similia ma solo diverso), non ti pare?

@milizia
Questo è un altro paio di maniche ...
Comunque credo di essere riuscito a dimostrarlo e provo a metterlo in modo più formale (se ci riesco )

Cordialmente, Alex

Dunque, provo a dimostrare ...

Prendiamo $a$ naturale con questa rappresentazione decimale $a_0a_1...a_n$ e sia $A=a_0+a_1+...+a_n$ la somma delle sue cifre.
Abbiamo questa uguaglianza $a=a_0*10^0+a_1*10^1+...+a_n*10^n$. Possiamo notare che (dopo aver eseguito i prodotti e cioe avendo solo una somma algebrica) la somma delle cifre di tutti gli addendi di questa espressione rimane uguale a $A$, perché la moltiplicazione per una potenza di dieci introduce nella rappresentazione solo degli zeri che non hanno effetto sul risultato dell'addizione.
Prendiamo $b$ naturale con questa rappresentazione decimale $b_0b_1...b_n$ e sia $B=b_0+b_1+...+b_n$ la somma delle sue cifre (Per semplicità ho posto $b$ con lo stesso numero di cifre di $a$ ma non è importante ...).
Sommo $a$ con $b$ e cioè $(a_0*10^0+a_1*10^1+...+a_n*10^n)+(b_0*10^0+b_1*10^1+...+b_n*10^n)$. Si può notare che la somma delle cifre del primo addendo (prima parentesi) è uguale ad $A$ e la somma della seconda è pari a $B$ (per quanto detto precedentemente).
Riscriviamo la somma dei nostri due numeri così $(a_0+b_0)*10^0+(a_1+b_1)*10^1+...+(a_n+b_n)*10^n$; lo stesso possiamo fare con $A+B=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+...+(a_n+b_n)$. Continua a rimanere valido il fatto che la somma $A+B$ è uguale alla somma delle cifre di $a$ e $b$.
Le $n+1$ somme $(a_k+b_k)*10^k$ produrranno un risultato della forma $c_k*10^k+r_k*10^(k+1)$ dove $r_k$ sarà pari a $0$ o a $1$.
Allo stesso modo le somme $(a_k+b_k)$ produrranno un risultato della forma $c_k*10^0+r_k*10^1$.
Quindi il risultato finale di $c=a+b$ sarà $c_0*10^0+(c_1+r_0)*10^1+...+(c_n+r_(n-1))*10^n+r_n*10^(n+1)$ mentre $C=A+B=c_0+c_1+r_0*10^1+...+c_n+r_(n-1)*10^1+r_n*10^1$. Ma per quanto detto all'inizio la somma delle cifre di $c$ è pari alla somma delle cifre di $C$.
A dir la verità non sarebbe proprio il risultato finale perché i riporti potrebbero continuare in caso di $9$ ma dato che avverrebbe lo stesso nell'altra somma, il tutto rimane valido.
Si può ripetere il tutto con il prodotto ma sarebbe decisamente più lungo; basta applicare la proprietà distributiva e ci si arriva ... .

Sperando di non aver fatto troppa confusione ...

Cordialmente, Alex

@Pachisi

Dato che i naturali sono infiniti anche i loro quadrati sono infiniti; però sommando reiteratamente le cifre che li compongono li riduciamo tutti a nove classi (lo zero non c'è o meglio c'è solo nel caso di zero ma zero non è naturale quindi è inutile citarlo )
Per esempio il nostro numero $15.763.530.163.289$ diventa $59$ e poi $14$ ed infine $5$.
Ridotti gli infiniti interi a nove classi e sfruttando le proprietà che ho citato succede che i quadrati delle nove classi si riducono a quattro tipi:
$1*1=1$
$2*2=4$
$3*3=9$
$4*4=16=7$
$5*5=25=7$
$6*6=36=9$
$7*7=49=13=4$
$8*8=64=10=1$
$9*9=81=9$
Perciò se un naturale è un quadrato perfetto la somma reiterata delle sue cifre deve essere o $1$ o $4$ o $7$ o $9$.

Cordialmente, Alex

Ma comunque probabilmente hanno usato tutti il metodo che intendi tu o quasi Era solo una descrizione implicita di ciò che hai fatto esplicitamente. Uno simile poteva essere quello di sommare le cifre una sola volta e ripartire da $0$ ogni volta che si raggiunge $3$.