Sviluppo di $(1+x)^alpha$ con $alphainR$

[francicko]

volevo sapere se è possibile dare una dimostrazione dello sviluppo del binomio $(1+x)^alpha=1+alphax+(1/2)(alpha)(alpha-1)x^2+...$ che non faccia uso del teorema di taylor, da qualche parte ho letto che Newton ne aveva dato una dimostrazione, quindi storicamente precedente ad Taylor.
Saluti!

[vict85]

Ti riferisci immagino a questo http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale immagino. È un classico esercizi di algebra, ma non è pensato \(\alpha\) generici.

[francicko]

Per $-1<x<+1$ lo sviluppo in serie vale anche quando $alpha$ non è un numero intero, cioè in tale condizione la serie ottenuta risulta essere convergente, e da lo sviluppo di $(1+x)^alpha$, è scritto nel libro di Courant, "che cos'è la matematica "

[vict85]

Certo, mi è chiaro. Quello che sto dicendo è che la formula che ha dimostrato Newton e che prende il suo nome (oltre che teorema binomiale e similari) è per \(\alpha\) intero.

[francicko]

Ad esempio quando $alpha=1/2$, si ha che lo sviluppo $sqrt(1+x)$ corrisponde proprio allo sviluppo in serie di Taylor(Mc Laurin), quindi è quello che fornisce la migliore approssimazione possibile, è questo che mi lascia un pò perplesso.

[vict85]

Perché ti lascia perplesso?