Beh, se restringi le ipotesi sulle funzioni in gioco, il teorema diventa un calcolo banale...
Ad esempio, nel caso di f.i. del tipo \(\frac{0}{0}\), se supponi che \(f(x)\) e \(g(x)\) siano analitiche (cioè sviluppabili in serie di potenze di centro \(x_0\)) e se chiami \(p\) e \(q\) gli ordini (necessariamente interi positivi) di \(x_0\) come zero di \(f\) e \(g\), hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{\sum_{n=p}^\infty f_n (x-x_0)^n}{\sum_{n=q}^\infty g_n (x-x_0)^n}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f_p (x-x_0)^p + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^p\big)}}{g_q (x-x_0)^q + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^q\big)}}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f_p (x-x_0)^p}{g_q (x-x_0)^q}
\end{split}
\]
e d'altra parte:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^\pm} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} &= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{\sum_{n=p}^\infty nf_n (x-x_0)^{n-1}}{\sum_{n=q}^\infty n g_n (x-x_0)^{n-1}}\\
&= \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{ p f_p (x-x_0)^{p-1} + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^{p-1}\big)}}{q g_q (x-x_0)^{q-1} + \cancel{\text{o}\big((x-x_0)^{q-1}\big)}}\\
&= \frac{p}{q}\cdot \lim_{x\to x_0^\pm} \frac{p}{q}\cdot \frac{f_p (x-x_0)^p}{g_q (x-x_0)^q}
\end{split}
\]
da cui segue l'uguaglianza dei due limiti direzionali.
Se poi i limiti direzionali coincidono, dalle precedenti segue il teorema.
Ovviamente, questa soluzione è inadatta ad essere illustrata agli studenti delle superiori... Mi informo e nel caso propongo altro.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)