[EM] Relazioni costitutive nei dielettrici e conduttori

[Emar]

Ciò che segue è una riflessione un po' confusa, scusatemi per la prolissità.

Sia quando si trattano i conduttori, sia quando si trattano i dielettrici, si parte da una relazione costitutiva macroscopica che lega la grandezza di interesse (in un caso la densità di corrente \(\mathbf{J}\), nell'altro la polarizzione \(\mathbf{P}\)) con la "causa", ovvero con il campo elettrico \(\mathbf{E}\), nel seguente modo:
\[\mathbf{J} = f(\mathbf{E}) \quad \quad \text{o} \quad \quad \mathbf{P} = f(\mathbf{E})\]
Questa relazione funzionale è incompleta in quanto spesso vi sono numerose altre variabili, ma sorvoliamo su ciò.

Chiaramente, se poi il mezzo in questione ha particolari proprietà le suddette relazioni si semplificano molto.

Fino a qui tutto ok.

Spesso però (magari sempre negli stessi testi in cui si partiva dalle relazioni costitutive di cui sopra) si arriva a dire invece che la relazione più generale possibile è una cosa del genere:
\[\mathbf{J} = \sigma \ \mathbf{E} \quad \quad \text{o} \quad \quad \mathbf{P} = \chi \ \mathbf{E}\]
dove i coefficienti \(\sigma\) e \(\chi\) sono tensori (matrici) le cui componenti sono però dipendenti dal campo.

Che senso ha passare da una relazione funzionale come la prima, nella quale è sufficiente trovare una funzione $RR^3 \to RR^3$ (se preferiamo tre funzioni $RR^3 \to RR$), con la relazione pseudo matriciale che involve nove funzioni $RR^3 \to RR$ (una per ogni componente della matrice)?

L'unica risposta che mi viene in mente è che magari nella relazione matriciale si intende la dipendenza solamente dal modulo del campo, allora già avrebbe un senso. Non so... mi sembra tutto confuso.

Qualcuno sa illuminarmi?

[Light_]

L'unica risposta che mi viene in mente è che magari nella relazione matriciale si intende la dipendenza solamente dal modulo del campo, allora già avrebbe un senso. Non so... mi sembra tutto confuso.

Penso proprio che sei sulla strada giusta , ma non ne sono sicuro neanch' io.

La convenienza dovrebbe star proprio nella misurabilità di quelle quantità .

Qualcuno ci illuminerà senz' altro.

[mathbells]

dove i coefficienti σ e χ sono tensori (matrici) le cui componenti sono però dipendenti dal campo.

Questo non mi risulta. Le relazioni costitutive sono fondamentalmente relazioni lineari, quindi quei tensori non dipendono dal campo. Sei sicuro di avere letto questa cosa da qualche parte?

[RenzoDF]

... Questo non mi risulta. Le relazioni costitutive sono fondamentalmente relazioni lineari, quindi quei tensori non dipendono dal campo.

Se non erro, normalmente si considera solo il tensore del primo ordine, per esempio, il tensore di suscettività lineare nel caso della polarizzazione e quindi a coefficienti costanti, ma in generale, in un mezzo non lineare, i coefficienti del tensore possono essere essi stessi funzioni del campo ed in questo caso si potrà andare a sviluppare detta dipendenza in serie di potenze di |E|, introducendo oltre al primo tensori di ordine superiore.

[mathbells]

@RenzoDF
Sì mi pare sia così. In tutti i testi di elettromagnetismo, quando si introducono le relazioni pervla polarizzazione o per la magnetzzazione si dice sempre che sono relazioni approssimate.

[RenzoDF]

Un paio di riferimenti

http://gaglieri.web.cern.ch/gaglieri/pu ... ff_def.pdf
http://www.frascati.enea.it/fis/docs/ot ... ineare.pdf

[DelCrossB]

... Questo non mi risulta. Le relazioni costitutive sono fondamentalmente relazioni lineari, quindi quei tensori non dipendono dal campo.

Se non erro, normalmente si considera solo il tensore del primo ordine, per esempio, il tensore di suscettività lineare nel caso della polarizzazione e quindi a coefficienti costanti, ma in generale, in un mezzo non lineare, i coefficienti del tensore possono essere essi stessi funzioni del campo ed in questo caso si potrà andare a sviluppare detta dipendenza in serie di potenze di |E|, introducendo oltre al primo tensori di ordine superiore.

Volendo essere ancora più precisi credo che il problema andrebbe ambientato nello spazio delle $(\omega,\mathbf{k})$. Lì si può effettivamente pensare di scrivere qualcosa del tipo:

$D_\mu = \epsilon_0E_\mu + \chi_{\mu\nu} E_\nu +... $

Per poi passare allo spazio delle $(t,\mathbf{x})$ mediante trasformata di Fourier. Il motivo di quest'ulteriore complicazione è il dover tener conto di effetti di "non località" nella dipendenza di D da E. La suscettività di molti mezzi materiali non è semplicemente una funzione di $(t,\mathbf{x})$, ma dipende anche dalla storia del mezzo (non località in $t$) e magari dalla suscettività stessa in altri punti vicini (o meno) ad $\mathbf{x}$.

Per rispondere alla domanda di Emar.. credo che un vantaggio effettivo lo si possa ottenere in mezzi che presentano qualche simmetria grazie al quale è possibile ridurre il numero di elementi incogniti del tensore $\chi$. Penso ad esempio alla diagonalizzazione.. quando è possibile individuare i tre assi principali del mezzo il problema si riduce alla determinazione di tre sole funzioni scalari.

@Renzo: grazie per le referenze, gli darò una bella lettura domattina