[Meccanica dei Fluidi] Dimostrazione della relazione costitutiva dei fluidi Newtoniani

[ing.nunziom]

Salve!
A lezione è stato detto che il legame tra la parte deviatorica del tensore degli sforzi $\tau$ e lo stato di moto nell'intorno di un punto è la seguente:

$\tau=-2/3\mu(\vec\nabla\cdot\vec{u})\tilde{I} =+2\mu\tilde{E}$

Io non voglio accettarla così.
Qualcuno potrebbe dimostrarla? O consigliarmi qualcosa da leggere?
Grazie.

[ing.nunziom]

Ho trovato una dimostrazione. Vorrei chiarire con voi alcuni aspetti.
Le ipotesi sono le seguenti:
$1)\tau$ dipende solo dalla distribuzione istantanea del campo di velocità;
$2)$il fluido in esame è isotropo;
$3)\vec\nabla\vecu$ è piccolo (cioè la scala temporale associata agli sforzi macroscopici è molto grande rispetto ai tempi caratteristici microscopici).
Nelle suddette ipotesi, la forma più generale che può assumere $\tau$ è:
$\tau_{ij}=A_{ijkl}\frac{\partialu_{k}}{\partialx_{l}}$
che dovrebbe essere un tensore del quarto ordine.
Prima domanda: cosa rappresenta, fisicamente, questa relazione?

$\tau$ e conseguentemente $A_{ijkl}$ non possono dipendere da $\vecu$ per l'invarianza Galileiana e nemmeno da derivate temporali di $\vecu$ per l'ipotesi $1)$.
$A_{ijkl}$ può dipendere dallo stato del fluido e dagli invarianti del tensore $\vec\nabla\vecu$ (ma non dal tensore stesso).
Seconda domanda: cosa sono gli invarianti del tensore?

Essendo $\tau$ simmetrico in $i$ e $j$, tale deve risultare anche il tensore $\tildeA$, da cui ne consegue che la forma più generale che può assumere è:
$A_{ijkl}=a\delta_{ij}\delta_{kl}+b\delta_{ik}\delta_{jl}+c\delta_{il}\delta_{jk}$
Per me è una relazione sconosciuta, ma penso di averla intuita.
L'espressione è simmetrica in $i,j,k$ e $l$. Conseguentemente $b=c$.
Il tensore $\vec\nabla\vecu$ si può decomporre in una parte simmetrica e in una antisimmetrica:
$\vec\nabla\vecu|_{ij}=E_{ij}+\Omega_{ij}$
Quando viene moltiplicato per $\tildeA$ sopravvive solo la parte simmetrica.
Ricordando che $\tau$ è la componente deviatorica di $\tildeT$ deve quindi risultare identicamente $\tau_{ii}=0$, da cui segue:
$\tau_{ij}=a\delta_{ij}E_{kk}+2bE_{ij}$
da cui ponendo $i=j$ si ottiene:
$3a\vec\nabla\cdot\vecu+2b\vec\nabla\cdot\vecu=0$
da cui
$a=-2/3b$
Congetturando che $b=\mu$ si ottiene la relazione iniziale.

[Faussone]

Sì questa è la trattazione che di solito si fa per mostrare come si arriva alle relazioni costitutive per fluidi newtoniani.

[....]
Nelle suddette ipotesi, la forma più generale che può assumere $ \tau $ è:
$ \tau_{ij}=A_{ijkl}\frac{\partialu_{k}}{\partialx_{l}} $
che dovrebbe essere un tensore del quarto ordine.
Prima domanda: cosa rappresenta, fisicamente, questa relazione?

Rappresenta la forma più generale di legame tra i due tensori supponendo una dipendenza solo lineare da $nabla vec u$.

In pratica
$\tau_{ij}=\tau_{ij} (nabla vec u)= \tau_{ij}(grad vec uequiv 0)+A_{ijkl} \frac{\partialu_{k}}{\partialx_{l}} + .... = A_{ijkl} \frac{\partialu_{k}}{\partialx_{l}} $
Quindi, se vuoi, ottieni la relazione facendo uno sviluppo di Taylor attorno a $nabla vec u = 0$ e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore di $nabla vec u$

[....]


Seconda domanda: cosa sono gli invarianti del tensore?

Gli invarianti di un tensore sono quelle quantità che rimangono fisse ruotando il tensore (riscrivendolo rispetto ad una rotazione generica nello spazio). Il più importante è la traccia del tensore (la somma degli elementi sulla diagonale).

[ing.nunziom]

Ok, ora è più chiaro.
Puoi chiarirmi cosa significa parte sferica e deviatorica di un tensore?

[Faussone]

Ok, ora è più chiaro.
Puoi chiarirmi cosa significa parte sferica e deviatorica di un tensore?

Ciao.
Queste sono informazioni che dovresti trovare facilmente in qualunque testo. A che livello stai studiando? Che corso di laurea ? Che esame?

Comunque la parte sferica di un tensore è la quota parte del tensore a traccia non nulla (e diagonale), nel tensore delle deformazioni è associato alle variazioni di volume, ma non di forma e nel tensore delle tensioni è associato alla pressione idrostatica (quindi indipendente dalla giacitura) dello stato tensionale. La parte deviatorica è la quota parte a traccia nulla, nel tensore delle deformazioni è associato alle variazioni di forma, ma non di volume.

[ing.nunziom]

Meccanica dei Fluidi...Ingegneria Meccanica

[ing.nunziom]

Dimenticavo: perché proprio un tensore del quarto ordine?

[Faussone]

Prova a scrivere, componente per componente una relazione generale lineare che lega ogni componente della parte deviatorica del tensore degli sforzi al gradiente delle velocità.
Vedrai che tale relazione è rappresentata da un tensore a 4 indici.