Un punto materiale viene messo in moto con velocità v

[mircosam]

Un punto materiale di massa m=1 kg viene messo in moto con velocità $v_A$ su un piano orizzontale scabro ($mu$=0.2) di lunghezza L= 2 m raccordato in B ad una guida circolare liscia di raggio R=1 m. Determinare:
-il valore di $v_A$ tale che m si stacchi dalla guida in corrispondenza dell'angolo$ alpha$=30°;
-il tempo impiegato da m a percorrere il tratto orizzontale.

Io ho pensato di svolgerlo come segue, ma alla fine ottengo una radice negativa. Mi aiutate?
$N-mg cos alpha= m-(v_P^2)/R$
Poiché ho una forza non conservativa (attrito): $E_M= W_att$
$l=R(1-cos alpha)$
$1/2 m v_A^2+ mgl- 1/2 m v_P^2= -mu_D mg L -----> v_P^2= v_A^" + 2 gl+ 2 mu_d gL$
Sostituisco in N: $N= mg cos alpha -m/R (v_A^" + 2 gR+ 2 mu_d gL)$
Pongo N=0 come condizione di distacco ed ottengo: $v_A^2= Rg cos alpha- 2lg-2 mu_d gL$
Potete dirmi dove ho sbagliato? grazie mille a tutti

[professorkappa]

$ U_B+E_B=U_P+E_P $

$ 1/2v_b^2=1/2v_p^2-g (R-Rcos\alpha) $ con $ v_p^2=gRcos\alpha $ , nell 'ipotesi di N=0, cioe':
$1/2v_b^2=1/2gRcos\alpha-gR+gRcos\alpha=3/2gRcos\alpha-gR$

Sommando a quest'ultima espressione il lavoro della forza di attrito ottieni la velocita con cui far partire il corpo in A. Sono semplicemente andato a ritroso. Non lo esplicito perche non ho carta e penna con me e scrivo dal pad!
FAmmi sapere se torna x favore.

[mircosam]

Ma le sue equazioni sono riferite solamente al tratto BP, non ho capito bene come dovrei "sommare" il lavoro della forza di attrito.

[mathbells]

Potete dirmi dove ho sbagliato?

Qui:

$ 1/2 m v_A^2+ mgl- 1/2 m v_P^2= mu_D mg L -----> v_P^2= v_A^" + 2 gl+ 2 mu_d gL $

Nel ricavare $v_p^2$ hai sbagliato il segno di $2 mu_d gL$. Ci andava un meno.

[mircosam]

Ciao, nei miei calcoli l'ho messo ma in ogni caso ottengo la radice negativa. HELPPPPP

[professorkappa]

Ma le sue equazioni sono riferite solamente al tratto BP, non ho capito bene come dovrei "sommare" il lavoro della forza di attrito.

Se hai l'energia cinetica in B (ora e' nota, e in funzione di m e R e $alpha$, che hai), l'energia cinetica in A si ottiene con le forze vive:

\( \frac{1}{2}mv_b^2-\frac{1}{2}mv_a^2=-\mu_dmg \)

(en. finale - en. iniziale) = lavoro delle forze.

In maniera equivalente, significa aggiungere all'energia cinetica in B il lavoro dissipato per trovare quanta energia aveva in A.

[mircosam]

Quindi ho sbagliato ad utilizzare anche la reazione della guida? Perché il problema mi chiede la velocità di A tale che il corpo si stacchi dalla guida nel punto P.

[mathbells]

Guarda bene i calcoli, non viene negativo il radicando. Ho fatto i calcoli e viene positivo.

[professorkappa]

Quindi ho sbagliato ad utilizzare anche la reazione della guida? Perché il problema mi chiede la velocità di A tale che il corpo si stacchi dalla guida nel punto P.

None. Prima di tutto, mathbell dice che I calculi son Giusti, quindi ricontrolla bene.
Le relazioni che ho scritto valgono se N=0, esattamente come dici tu. Ho fatto semplicemente il ragionamento a ritroso. A partire dalla condizione di distacco sono risalito alla velocità in B, e da li, considerando il lavoro dissipativo, trovi la V in A

[professorkappa]

Quindi ho sbagliato ad utilizzare anche la reazione della guida? Perché il problema mi chiede la velocità di A tale che il corpo si stacchi dalla guida nel punto P.

None. Prima di tutto, mathbell dice che I calculi son Giusti, quindi ricontrolla bene.
Le relazioni che ho scritto valgono se N=0, esattamente come dici tu. Ho fatto semplicemente il ragionamento a ritroso. A partire dalla condizione di distacco sono risalito alla velocità in B, e da li, considerando il lavoro dissipativo, trovi la V in A