Momento angolare in coordinate cilindriche

[Tomt]

La questione è semplice, volgio scrivere il momento angolare di una particella nello spazio in coordinate cilindriche...ma non ci riesco! Nemmeno la componente più semplice, lungo z...segno che sto facendo qualcosa di sbagliato ma non capisco cosa.

Allora il momento angolare è L= X x P, quindi se prendo la componente lungo z di X (posizione della particella) e P (q di moto) dovrei riuscirci no?

Ad esempio in coordinate cilindriche la posizione è (r cos(f), r sin(f) , z) , quindi io scrivo il L per componenti, quindi con il determinante delle componenti di X e P , e risolvo rispetto alla componente z.
Ottengo

Lz = Py Xx - Xy Px

e poi sostituisco
Xx = r cos(f)
Xy = r sin(f)
Px = m dr/dt
Py = m r df/dt

ma non torna! Dovrebbe essere Lz = m r^3 df/dt ma mi viene tutt'altro! Sbaglio a scrivere le coordinate? P ? Se potete aiutatemi perfavore...

[professorkappa]

E mica puoi risolvere secondo la coordinata Z. Z e' indipendente, quindi resta indipendente.

Per definizione di momento angolare:

\( \vec{L} =\vec{r} \times m \vec{v} \)

Ora, $vec{v}$ lo trovi derivando le coordinate del punto

\( \vec{v} = (-rsinf\cdot \frac{df}{dt},rcosf\cdot \frac{df}{dt},\frac{dz}{dt}) \)

Quindi, portando fuori dal prodotto vettoriale lo scalare m

\( \vec{L}=m\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ rcosf & rsinf & z\\ -r\dot{f}sinf & r\dot{f}cosf & \dot{z} \end{vmatrix} \)

La terna cilindrica, d'altra parte, e' :


\( \vec{\tau}=\frac{-rsinf,rcosf,0}{r^2} \)

\( \vec{\nu}=\frac{-rcosf,rsinf,0}{r^2} \)

\( \vec{k} \)

Da qui, puoi trovarti le componenti di del momento lungo i versori della terna cilindrica.

Per z, per esempio: \( L_z=mr^2\dot{f} \)

D'altra parte. quello che viene a te (con un raggio al cubo), non puo essere: se $f=\omega\t$, il momento lungo z deve avere dimensioni di un momento di inerzia ($mr^2$) per una velocita' angolare ($df/dt$).

Spero che ti aiuti.

PK

[Tomt]

Capito! Grazie, sei stato illuminante! Alla fine confondevo lo spostamento infinitesimo con quello non infinitesimo ed infatti derivavo quello ecco perchè non mi tornava. Sto facendo queste cose da solo ed a volte incontro qualche difficoltà proprio su questi meccanismi. Ancora grazie, sei stato chiarissimo

[professorkappa]

Alla prossima, e' un piacere.