Nel primo post sull'argomento, questo :
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ho messo un disegno, con uno specchio che ho chiamato $F$ e un dispositivo mobile $M$ che è dotato di un emettitore- ricevitore di fotoni $ER$ . Il dispositivo mobile è a distanza $D$ costante da $F$, e si muove rispetto a $F$ verso destra, con una certa velocità di modulo $v$ . Perciò rispetto a M è come se lo specchio si muovesse verso sinistra con velocità relativa $-v$ , è pacifico.
Ora cambio un po' i nomi ai tempi. Chiamo il tempo $t_M$ dell'emettitore-ricevitore "tempo proprio" , e lo indico con $\tau$ , perciò le differenze di tempo proprio saranno : $\Delta\tau$ . Chiamo il tempo $t_F$ di F "tempo coordinato" , e lo indico semplicemente con $t$ , perciò le differenze di tempo coordinato saranno : $\Deltat $ .
Guardate ora le figure del post precedente. Considerate la seconda: ci sono due triangoli rettangoli che hanno lo stesso cateto verticale $D = c\Delta\tau$ (questo si vede dalla figura in alto) . Prendiamo uno solo di questi triangoli, quello relativo alla "andata" del fotone , dall'evento emissione E all'evento arrivo sullo specchio F.
Il cateto verticale $D$ non dipende dalla velocità $v$ relativa tra specchio F e dispositivo mobile M(ER) .
Invece è chiaro che, quanto più grande è $v$, tanto più grande diventa il cateto orizzontale $\Delta x = v*\Deltat$ , e quindi l'ipotenusa (rossa) che vale : $c\Deltat$ . Questo significa che , quanto maggiore è la velocità relativa, tanto più si allunga il cammino della luce per andare, nel riferimento di F , dall'evento E (emissione) all'evento F (arrivo sullo specchio), e quindi tanto più grande è la separazione spaziale $v\Deltat = \Deltax$ .
Per essere più semplice e chiaro : se la velocità relativa è maggiore , il vertice del triangolo in basso a sinistra si deve spostare ancora più a sinistra, nel riferimento dello specchio F.
E questo che cosa vuol dire ? Vuol dire :
$D^2 = (c\Delta\tau) ^2 = (c\Delta\t) ^2 - (\Deltax)^2 = (c\Delta\t') ^2 - (\Deltax')^2 = (c\Delta\t'') ^2 - (\Deltax'')^2 =(c\Delta\t''') ^2 - (\Deltax''')^2 = …….$
Questa che ho appena fatto vedere, in maniera elementare, non è altro che l'invarianza della quantità $(c\Delta\t) ^2 - (\Deltax)^2$ , e cioè del quadri-intervallo, che nel riferimento proprio di M vale : $(c\Delta\tau) ^2$ .
Non è una dimostrazione rigorosa. Questa è "RR for dummies". Per una dimostrazione rigorosa dell'invarianza del 4-intervallo, bisogna consultare adeguati testi di relatività, ad esempio la "Teoria dei campi" di Landau, primo capitolo.
Comunque è valida.