Problema slitta sul ghiaccio

[Sempreio]

Salve a tutti, vi espongo il problema:

Una slitta di massa $M=75kg$ e lunga $L=5 m$, vedi figura 1, è inizialmente ferma su un lago ghiacciato. la massa $m= 15 kg$ è appoggiata ad una molla, collegata con l'altra estremità alla slitta., di costante elastica $k=500 N/m$ e lunghezza a riposo $l_0=50 cm$, tenuta compressa di un tratto $\Deltax_0=20 cm$ da una fune sottile. All'estremità opposta della slitta è presente una parete verticale con dello stucco. In un dato istante inizialesi taglia la fune. Nell'ipotesi che il coefficiente di attrito dinamico tra la massa m e la slitta valga $\mu_D=0.2$, si calcoli:
i)le velocita $v_m$ e $v_M$ della massa m e della slitta un'istante prima che la massa m raggiunga la parete con lo stucco;
ii)lo spostamento della slitta dall'istante iniziale in cui la massa $m$ raggiunge la parete con lo stucco;
iii)le velocità finali $(v^f)_m$ e $(v^f)_M$ della massa $m$ e della slitta dopo che massa $m$ ha raggiunto la parete con lo stucco.

Non capisco come risolvere il primo punto, dato che ho l'attrito ta m e la slitta uso la dinamica e trovo l'accelerazione quindi:
$kx-\mu_Dmg=ma$ ora come trovo x? e per la velocità della slitta?
In più l'urto con la parete è elastico?

[professorkappa]

Intanto, tutte le forze sono interne (anche quelle d'attrito), quindi si conserva la quantita' di moto totale.
La velocita della slitta e del corpo, in un SdR fisso, sono legate da una relazione ben precisa.

Allora scegliamo un sistema di riferimento fisso (il lago), con l'origine nell'angolo inferiore sx della slitta, che chiameremo $x$
Poi scegliamo un sistema di riferimento mobile solidale con la slitta e' avente anche esso origine nello spigolo inf. sx della slitta (ma attento che si muove con la slitta). Lo chiamiamo \( \xi \)

Definiamo $x_a$ la coordinata, nel SdR fisso, del blocco
$x_b$ e' la coordinata nel SdR fisso, della slitta.

Nel sistema di riferimento non inerziale $\xi$, l'equazione della dinamica si scirve

(1) \( -k(\xi-l_0)-\mu mg-m\ddot{x_b}=m\ddot{\xi} \)

La quantita di moto totale rispetto al SdR fisso, all'inizio (tutto fermo) e' nulla, e dunque rimane nulla anche dopo.
Quindi puoi scrivere

(2) \( m\dot{x_a}+M\dot{x_b}=0 \)

D'altra parte, la velocita assoluta del blocco, $\dot{x_a}$ e' somma della velocita' relativa rispetto a $\xi$ e della velocita' di trascinamento (quella che il blocco avrebbe se solidale alla slitta, - che altro non e' che la velocita' della slitta).

Cioe la (2) puo' essere riscritta come

(2-a) $m_a(\dot{\xi}+\dot{x_b})+M\dot{x_b}=0$

Da cui si ricava che $\dot{x_b}=-\frac{m_a\dot{xi}}{m_a+M}$

Derivando e sostituendo $\ddot{x_b}$ in (1) ottieni un'equazione differenziale che risolta ti da la $\xi (t)$.

Vai avanti tu? Dopo che risolvi e trovi la $\xi (t)$ bisogna fare qualche considerazione.