RR for dummies : orologio a luce e trasformazioni di Lorentz - 2

[navigatore]

Nel primo post sull'argomento, questo :

viewtopic.php?f=19&t=140198

ho messo un disegno, con uno specchio che ho chiamato $F$ e un dispositivo mobile $M$ che è dotato di un emettitore- ricevitore di fotoni $ER$ . Il dispositivo mobile è a distanza $D$ costante da $F$, e si muove rispetto a $F$ verso destra, con una certa velocità di modulo $v$ . Perciò rispetto a M è come se lo specchio si muovesse verso sinistra con velocità relativa $-v$ , è pacifico.

Ora cambio un po' i nomi ai tempi. Chiamo il tempo $t_M$ dell'emettitore-ricevitore "tempo proprio" , e lo indico con $\tau$ , perciò le differenze di tempo proprio saranno : $\Delta\tau$ . Chiamo il tempo $t_F$ di F "tempo coordinato" , e lo indico semplicemente con $t$ , perciò le differenze di tempo coordinato saranno : $\Deltat $ .

Guardate ora le figure del post precedente. Considerate la seconda: ci sono due triangoli rettangoli che hanno lo stesso cateto verticale $D = c\Delta\tau$ (questo si vede dalla figura in alto) . Prendiamo uno solo di questi triangoli, quello relativo alla "andata" del fotone , dall'evento emissione E all'evento arrivo sullo specchio F.

Il cateto verticale $D$ non dipende dalla velocità $v$ relativa tra specchio F e dispositivo mobile M(ER) .
Invece è chiaro che, quanto più grande è $v$, tanto più grande diventa il cateto orizzontale $\Delta x = v*\Deltat$ , e quindi l'ipotenusa (rossa) che vale : $c\Deltat$ . Questo significa che , quanto maggiore è la velocità relativa, tanto più si allunga il cammino della luce per andare, nel riferimento di F , dall'evento E (emissione) all'evento F (arrivo sullo specchio), e quindi tanto più grande è la separazione spaziale $v\Deltat = \Deltax$ .
Per essere più semplice e chiaro : se la velocità relativa è maggiore , il vertice del triangolo in basso a sinistra si deve spostare ancora più a sinistra, nel riferimento dello specchio F.

E questo che cosa vuol dire ? Vuol dire :

$D^2 = (c\Delta\tau) ^2 = (c\Delta\t) ^2 - (\Deltax)^2 = (c\Delta\t') ^2 - (\Deltax')^2 = (c\Delta\t'') ^2 - (\Deltax'')^2 =(c\Delta\t''') ^2 - (\Deltax''')^2 = …….$

Questa che ho appena fatto vedere, in maniera elementare, non è altro che l'invarianza della quantità $(c\Delta\t) ^2 - (\Deltax)^2$ , e cioè del quadri-intervallo, che nel riferimento proprio di M vale : $(c\Delta\tau) ^2$ .

Non è una dimostrazione rigorosa. Questa è "RR for dummies". Per una dimostrazione rigorosa dell'invarianza del 4-intervallo, bisogna consultare adeguati testi di relatività, ad esempio la "Teoria dei campi" di Landau, primo capitolo.
Comunque è valida.

[soyuz]

Professore qui a Roma diciamo che ascoltando i grandi si diventa come loro. Ho letto il dibattito sulla relatività e mi è piaciuto ma vedo che è finito. Ho letto allora il tuo disegno e le tue formule sul teorema pitagorico ma non mi trovo se faccio i calcoli non con i simboli ma con numeri materiali. Ho provato ad immaginare che il tuo cateto verticale è lungo 10 centimetri e che quindi l’ipotenusa deve essere proporzionata a tale cateto. Quindi se partiamo dalla velocità dello specchio di 250000 kilometri al secondo, la lunghezza della ipotenusa deve essere di circa 18 centimetri siccome il Fattore è più o meno uguale a 0.557 sempre se non sbaglio. Ma però se l’ipotenusa è così lunga il cateto orizzontale deve essere circa 15 centimetri, solo allora il teorema dà il risultato giusto. Ma se il viaggio dello specchio dura 15 centimetri non si accorda con l’altro cateto che è 10 centimetri. Mi sono allora iscritto per formulare questa domanda. Puoi farmi il contro preciso con i numeri? Tieni presente che io sono un ragioniere e conosco più i numeri che i simboli.

[navigatore]

Ti saluto Soyuz, benvenuto nel forum. Non sono un professore, per carità! Sono un povero pensionato dilettante, e non sono affatto grande! Semmai, se ti metti con me diventi vecchio, non grande !

Ti dispiace se modifico leggermente i tuoi dati, prendendo dei numeri divisibili per $3$ ? Il motivo è che la velocità della luce vale : $c = 30 (cm)/(ns)$ , quindi avere dei numeri divisibili per $3$ è più comodo. Allora prendo :

$ D = 9 cm$ ; $ v = 240.000 (km)/s = 0.8*c $ . D'accordo ?

Secondo l'osservatore mobile $M$ , il tempo impiegato dalla luce a raggiungere lo specchio vale :

$t_M = D/c = 9/(30)ns = 0.3 ns$

Il fattore di riduzione vale : $R = sqrt(1-0.8^2) = 0.6 $ . Quindi : $\gamma = 1/R = 1/(0.6) $

Rispetto all'osservatore fisso F (lo specchio) , il dispositivo mobile $M$ si muove con velocità $v = 0.8c$ verso destra. Quindi rispetto a F il tempo di M "scorre più lentamente" rispetto al suo . Perciò deve essere :

$t_F = \gamma*t_M = 1/0.6 *0.3 ns = 0.5 ns $ . Ci sei ?

Nel tempo $t_F = 0.5 ns$ la distanza $x$ percorsa da M vale : $x = v*t_F = 0.8*30(cm)/(ns) * 0.5 ns = 12 cm $
e questo è il cateto orizzontale.
Nello stesso tempo, la luce descrive l'ipotenusa, che vale : $c*t_F = 30 (cm)/(ns)*0.5 ns = 15 cm $

Adesso hai : ipotenusa = $15 cm$ ; cateto orizzontale = $12 cm$ ; cateto verticale = $9 cm $

E risulta : $15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 = 12^2 $

E questo è quanto volevamo avere. Soddisfatto ?

[soyuz]

Lo so che il conteggio è giusto e lo era pure quello con 10, 15 e 18 centimetri anche se mancava qualche decimale. Ma io voglio dire che mi pare di capire dai vostri dotti discorsi che verso il moto le distanze si accorciano. E allora vuol dire che il segmento orizzontale non può essere visto di 12 centimetri ma piò corto. E se è più corto diventa anche più corta l'ipotenusa. Sempre se ho capito bene. In più mi chiedo come fa chi si trova a camminare con lo specchio, mettiamo un puffo che sta sopra, a ricavare quelle cifre non potendo avere a disposizione uno specchio nel mondo di chi sta fermo.
Perdonami ma non so spiegarmelo
grazie.

[navigatore]

Mi spiace, ma la situazione non ti è chiara.

C'è un moto relativo tra F ed M.
Rispetto a F , che si considera "fermo" , il dispositivo M si muove verso destra con velocità $v$ .
Rispetto a M , che considera se stesso "fermo" , è invece F che scorre verso sinistra con velocità $-v$ .

Il punto di vista di M è : "Lancio un raggio luminoso in direzione perpendicolare a quella del moto relativo. Io mi considero fermo, quindi il mio raggio fa un percorso andata + ritorno lungo, in totale , $2D$ , e il tempo mio che passa tra emissione e ritorno è $2D/c$ " . (Adesso sto considerando entrambi i percorsi della luce, verso lo specchio e di ritorno, chiaro?).
Perciò, solo per l'andata il tempo vale la metà : $t_M = D/c$ .
Non c'è nessuna contrazione di lunghezza, qui.

Il punto di vista di F è : " Il dispositivo mobile ha lanciato il fotone quando era in E (emissione) , e lo ha raccolto quando è arrivato in R (ricezione) (intero percorso, chiaro? ). PEr spostarsi da E ad R , il dispositivo mobile ha impiegato un certo tempo mio alla velocità $v$ , percorrendo un tratto lungo $2x$ ". Anche qui non devi considerare nessuna contrazione, F non sta facendo misure di lunghezze di un oggetto solidale a M , sta solo riportando il suo punto di vista su come vede il fotone che , partito da E , arriva allo specchio e torna indietro per essere raccolto da M in R.
Naturalmente la luce ha la stessa velocità $c$ che aveva per M, nel compiere i due cammini (cioè le due ipotenuse) . Quindi metà cammino, da E fino ad F , è eseguito secondo F in un tempo $t_F$ dalla luce che descrive l'ipotenusa, mentre nello stesso tempo $t_F$ il dispositivo M si è spostato di $x$ con velocità inferiore $v$ .

Non ci sono lunghezze che si contraggono, qui, da nessuna parte. Naturalmente, ho sottinteso che sia M che F hanno orologi con cui misurano gli istanti d tempo in cui si verificano gli eventi. Per M , gli eventi E (emissione) ed R( ricezione ) sono separati solo nel tempo. Per F, sono separati sia nel tempo che nello spazio. Per F , più aumenta la velocità $v$ e più aumenta la separazione nello spazio, quindi aumenta pure il percorso della luce, cioè la separazione nel suo tempo , tra gli eventi E ed R.

Spero di essere stato chiaro. Se non sono stato chiaro, leggi la seguente dispensa :

http://www2.ing.unipi.it/~a004361/FISIC ... %20III.pdf

Il primo paragafo riproduce esattamente l'orologio a luce, e la deduzione della formula del rallentamento del tempo dell' orologio in moto rispetto a quello fisso, com ho fatto io nel primo post.
Poi c'è un altro paragrafo , intitolato "Contrazione delle lunghezze longitudinali al moto" , dove stavolta i due specchi sono messi in direzione perpendicolare alla direzione del moto : allora sí , che c'è contrazione della distanza tra gli specchi , rispetto all'osservatore fisso !

C'è anche questa pagina di "batmath" che dice le stesse cose :

http://www.batmath.it/fisica/a_relativita/spaz_temp.htm

[soyuz]

Navigatore scusa se sono un pò testardo ma quando qualcosa non è digeribile insisto. Lo faccio solo questa volta e non torno più in materia.

Ho visto batmath che è più facile dell’altra ma la dispensa mi sembra che conferma quanto ho detto forse senza essere troppo chiaro. Dal discorso di voi esperti mi pare di aver capito alcuni punti fissi. Che l’accorciamento orizzontale non è reale ma solo ideale. Che l’accorciamento avviene secondo il verso del movimento del treno. Che il metodo pitagorico non consente a chi si trova o si crede fermo, il puffo, di sapere che differenze di tempo ci sono tra lui e l’altro, perchè chi vuole sapere tale differenza deve per forza osservare qualcosa nell’altro mondo, mentre con altri mezzi come Lorenz o altro si possono conoscere tali distinzioni procedendo senza guardare con gli occhi gli esatti spostamenti dei fotoni e dei raggi. Poi c’è una cosa che vi trova in contrasto ed è la sfera, ma non mi interessa almeno per ora. Mi fermo al secondo aspetto e cioè all’accorciamento. Tu e la dispensa dite che l’accorciamento avviene solo esattamente in modo longitudinale, se il moto è ovviamente longitudinale tanto che la spiegazione è fatta con due orologi che sono verticali e il raggio che va avanti e poi torna dietro. Ma però ti chiedo, se il l’accorciamento ideale vale quando si è perfettamente orizzontale deve valere, anche se di meno, quando si è obliquo. Il succo del discorso è questo. Non mi pare possibile che l’accorciamento vale solo quando il raggio va avanti e dietro, in quanto deve per forza valere anche quando va obliquamente nello stesso versante. Solo che quando è longitudinale l’accorciamento è maggiore, quando è obliquo l’accorciamento è minore ma vi deve sempre essere e aumenta sempre più quando il movimento del raggio si avvicina al piano orizzontale. Non mi pare di pensare stupidate. Salutando e ringraziando io credo che la migliore cosa l’hai detta tu affermando che il teorema è per gli imbranati, ma da qui aggiungo che mi pare addirittura pei fresconi.

grazie salutando.

[navigatore]

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Che il metodo pitagorico non consente a chi si trova o si crede fermo, il puffo, di sapere che differenze di tempo ci sono tra lui e l’altro, perchè chi vuole sapere tale differenza deve per forza osservare qualcosa nell’altro mondo, mentre con altri mezzi come Lorenz o altro si possono conoscere tali distinzioni procedendo senza guardare con gli occhi gli esatti spostamenti dei fotoni e dei raggi.

Metodo pitagorico ? Non c'è un metodo pitagorico. Qui si sta esaminando il funzionamento dell'orologio a luce, e basta. E per farlo si usa il teorema di Pitagora.

Il puffo F solidale allo specchio, che si crede fermo, ha un orologio che registra il suo tempo dell'evento E in cui il dispositivo mobile M emette il raggio luminoso, e registra pure il suo tempo in cui si verifica l'evento R in cui il dispositivo mobile riceve il raggio luminoso. Se vuoi, puoi supporre che gli orologi di F siano due, uno messo in corrispondenza di E , l'altro in corrispondenza di R.
Invece M ha un solo orologio, che viaggia insieme a lui, quindi i due eventi E ed R sono separati , per M, solo nel tempo proprio $t_M$ , non nello spazio. Invece per F c'è sia una separazione nel tempo $t_F$ che nello spazio $2x$ (andata + ritorno), come ho già detto prima. Più grande è la separazione nello spazio, cioè la velocità $v$ , più grande è quella nel tempo $t_F$. Non riscrivo le formule, tanto qui è questione di concetti, anche se all'inizio hai detto che ti piacevano più i numeri che le formule. Ma i numeri te li ho dati subito.
La differenza nei tempi nasce dal confronto tra il tempo registrato da M e quello registrato da F .

Mi fermo al secondo aspetto e cioè all’accorciamento. Tu e la dispensa dite che l’accorciamento avviene solo esattamente in modo longitudinale, se il moto è ovviamente longitudinale tanto che la spiegazione è fatta con due orologi che sono verticali e il raggio che va avanti e poi torna dietro. Ma però ti chiedo, se il l’accorciamento ideale vale quando si è perfettamente orizzontale deve valere, anche se di meno, quando si è obliquo. Il succo del discorso è questo. Non mi pare possibile che l’accorciamento vale solo quando il raggio va avanti e dietro, in quanto deve per forza valere anche quando va obliquamente nello stesso versante. Solo che quando è longitudinale l’accorciamento è maggiore, quando è obliquo l’accorciamento è minore ma vi deve sempre essere e aumenta sempre più quando il movimento del raggio si avvicina al piano orizzontale.

Ti faccio osservare (guarda il mio primo post) che il dispositivo mobile M emette il raggio perpendicolarmente alla direzione del moto relativo. Io mi sono limitato a questo caso, non ho aggiunto, come fa la dispensa, nessuna considerazione circa un raggio inviato in direzione parallela la moto relativo. Questo la dispensa lo fa per dimostrare che c'è contrazione nella direzione del moto.
Se il dispositivo M , muovendosi rispetto a F, emettesse un raggio in direzione obliqua rispetto alla velocità, ci sarebbe contrazione della componente longitudinale, non della componente verticale . Si cadrebbe in una situazione un po' complicata, per quanto riguarda la composizione della velocità $v$ con le componenti
$c*sen\alpha$ e $c*cos\alpha$ della velocità del fotone, che è studiata nell' "ottica dei corpi in movimento" .
Ne ho fatto cenno qui :

viewtopic.php?f=19&t=135821&hilit=+invarianza+verticale#p865773

ma non posso copiare e riportare perché il topic è bloccato. Se vuoi, lo leggi lì.

Salutando e ringraziando io credo che la migliore cosa l’hai detta tu affermando che il teorema è per gli imbranati, ma da qui aggiungo che mi pare addirittura pei fresconi.

Guarda, qui l'unico frescone sai chi è ? Sono io, che mi metto ogni tanto a parlare di relatività, credendo di far piacere a qualcuno. Ho preso solo insulti, per questo.

E ripensandoci dico : ma chi me lo fa fare ? Ho deciso : d'ora in avanti non parlerò mai più di relatività in questo forum. Non ne vale la pena. .

grazie salutando.

Prego ricambiando .