RR for dummies : ancora sulla composizione delle velocità

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In un mio precedente post sulla composizione relativistica delle velocità, questo :

viewtopic.php?f=19&t=137220

ho parlato di due casi particolari : la composizione di due velocità parallele, che corrisponde a due trasformazioni di Lorentz (TL) nella stessa direzione, le quali si compongono per dar luogo a una TL ancora nella stessa direzione; e la composizione di due velocità perpendicolari rispetto all' OI al quale si riferiscono le velocità dette. Nel secondo caso la composizione delle due TL dà luogo ad una TL più una rotazione.

Ma come si fa a comporre due velocità in direzione qualsiasi?

In altri termini, supponiamo che rispetto al riferimento inerziale $O$ "del laboratorio" abbiamo due riferimenti inerziali $S_1$ ed $S_2$ , che si muovono con velocità $vecV_1$ e $vecV_2$ qualsiasi (di modulo inferiore a $c$ ovviamente) rispetto ad O. Come si calcola la velocità relativa di $S_2$ rispetto a $S_1$ (o viceversa) ?

Per fare questo calcolo, occorre far ricorso ai quadri-vettori. LE 4-velocità di $S_1$ ed $S_2$ rispetto ad $O$ sono :

$vecU_1 = (\gamma_1c , \gamma_1vecV_1) $ ---------(1)

$vecU_2 = (\gamma_2c , \gamma_2vecV_2) $ ---------(2)

Ma rispetto ad $S_1$ le 4-velocità sono :

$vecU'_1 = (c , vec0) $ ---------(3)

$vecU'_2 = (\gammac , \gammavecV) $ ----------(4)

Infatti, la (3) si giustifica considerando che in $S_1$ la velocità tridmensionale è zero, essendo $S_1$ fremo rispetto a se stesso, e la componente temporale si riduce a $c$ perché $\gamma = 1$ . Invece, nella (4) la velocità $vecV$ e il fattore $\gamma$ sono la velocità e il fattore di Lorentz di $S_2$ rispetto a $S_1$ , che dobbiamo trovare.

Ora, si sa dalla teoria che il prodotto scalare dei 4-vettori, eseguito usando la metrica piatta di Minkowski $\eta_(\mu\nu) = diag (1,-1,-1,-1)$ , è invariante, cioè deve essere ( guardate la nota (*) per un brevissimo cenno al modo in cui si fa tale prodotto) :

$vecU_1*vecU_2 = vecU'_1*vecU'_2 = \eta_(\mu\nu)U^\muU^\nu = \eta'_(\alpha\beta) U'^\alphaU'^\beta$ --------(5)

Eseguendo i prodotti con la regola detta , con le espressioni scritte per le 4-velocità, si ha :

$gamma_1\gamma_2(c^2 - vecV_1*vecV_2) = \gammac^2$ .

Noto subito esplicitamente che le due velocità $vecV_1$ e $ vecV_2$ sono velocità tridimensionali, quindi il loro prodotto scalare è il normalissimo prodotto scalare tra vettori che conosciamo dal calcolo vettoriale.

Perciò si ha innanzitutto : $\gamma = gamma_1\gamma_2( 1 - vec\beta_1*vec\beta_2) $ -------(6)

dove si è posto : $vec\beta_1 = (vecV_1)/c$ , e analogamente per $vec\beta_2$ .

Inoltre, dalla espressione di $\gamma = (1-\beta^2)^-(1/2)$ si ricava che : $\beta^2 = 1 - 1/\gamma^2 $ . Cioè :

$\beta^2 = 1 - 1/\gamma^2 = 1 - ((1-\beta_1^2)(1-\beta_2^2)) /(1-vec\beta_1*vec\beta_2)^2 = ……..$

salto tutti i passaggi algebrici, alquanto tediosi, per arrivare a questo punto :

$ …..= ((vec\beta_1 - vec\beta_2)^2 + (vec\beta_1*vec\beta_2)^2 - \beta_1^2\beta_2^2)/(1-vec\beta_1*vec\beta_2)^2 $ ------(7)

Il secondo e terzo termine al numeratore si possono esprimere in maniera più concisa. Si ha infatti, eseguendo il prodotto vettoriale dei due vettori e calcolando il quadrato dello stesso :

$(vec\beta_1xxvec\beta_2)^2 = (\beta_1\beta_2*sen\theta)^2 = \beta_1^2\beta_2^2 ( 1 - cos^2\theta) = \beta_1^2\beta_2^2 - (vec\beta_1*vec\beta_2)^2 $

Perciò , sostituendo nella (7) , si ha in definitiva :

$\beta^2 = ((vec\beta_1 - vec\beta_2)^2 - (vec\beta_1xxvec\beta_2)^2)/(1-vec\beta_1*vec\beta_2)^2 $-------(8)

Ecco fatto, questa è la formula finale. Anche qui noto che il prodotto vettoriale al numeratore è il normale prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali.

Non faccio esempi numerici, è inutile. In fondo si tratta di far un prodotto scalare e un prodotto vettoriale di vettori tridimensionali.
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(*)
Faccio un brevissimo cenno a come si fa il prodotto scalare tra due quadrivettori $A^\mu$ e $B^\nu$ nello spaziotempo piatto della RR , dotato della metrica di Minkowski in coordinate pseudo-euclidee $\eta_(\mu\nu) = diag (1,-1,-1,-1)$ (il primo è il componente temporale, gli altri tre sono spaziali).
In componenti, i due quadrivettori sono : $A^\mu = (A^0,A^1,A^2,A^3) $ , e $ B^\nu = (B^0,B^1,B^2,B^3) $ .

Il prodotto scalare si esegue, tenendo presente che il tensore metrico è diagonale e occorre sommare su indici ripetuti di co- e contro- varianza (convenzione di Einstein), con la formula :

$vecA*vecB = \eta _(\mu\nu) A^\muB^\nu = \eta_(00)A^0B^0 + \eta_(11)A^1B^1 + \eta_(22)A^2B^2 + \eta_(33)A^3B^3 = +A^0B^0 - A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3 $ .
Alla stessa maniera si trova la norma di un quadrivettore dato . La norma in questo modo può risultare positiva, e allora il 4-vettore è di tipo tempo; nulla, e allora il 4-vettore è di tipo luce ; negativa, e allora il 4-vettore è di tipo spazio.
Questo perché la metrica non è euclidea ma pseudo euclidea.
Alcuni adottano la convenzione opposta per la segnatura della metrica.