propongo un esercizio che mi sta facendo penare non poco:
Un pendolo fisico è vincolato in un punto O per mezzo di una cerniera ideale.
Il pendolo è costituito da:
- un'asta rigida, sottile ed omogenea di lunghezza $l$ e massa $m$ disposta verticalmente
- un disco sottile di raggio $R=l/8$ e massa $8m$ il cui centro si trova all'estremo C della sbarretta.
Il vincolo in O si trova alla distanza $l/4$ dal baricentro G dell'asta verticale.
Inizialmente il sistema è in quiete e in equilibrio statico.
Si supponga che ad un certo istante l'asta verticale venga scostata dalla sua posizione di equilibrio di un angolo $θ_0$, agendo sull'asta verticale e non toccando il disco [a proposito: perché questa precisazione??], e poi venga lasciata libera di oscillare nel piano del disegno.
Si distinguano i seguenti casi:
1) il disco è incernierato in C mediante una cerniera ideale
2) il disco è saldato rigidamente in C alla sbarretta
Per ciascuno dei casi enunciati, nell'ipotesi di piccole oscillazioni, scrivere l'equazione del moto del pendolo fisico.
RISULTATI a cui pervenire:1) $ ddot θ + (300)/(223) g/l θ=0 $2) $ ddot θ + (300)/(226) g/l θ=0 $
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Ecco la mia "soluzione".
Cominciamo con il dire che "per piccole oscillazioni" siamo nel caso $sinθ = θ$
Il pendolo può essere così schematizzato:
[CASO 1 - cerniera ideale in C]
Il disco può essere considerato come un punto materiale di massa $8m$ dato che, visto nel sistema di riferimento inerziale, non ruota (un osservatore a terra vede che l'asta ruota e il disco no.. se considerassimo un diametro AB verticale vedremmo che resterebbe verticale)
Il momento esterno di un pendolo fisico generico
è dato dalla relazione: $M=-mgh sin(θ)$ con $h= \bar{OC_M}$
Poichè però il mio pendolo è composto di due parti (sbarra e disco) devo trovare il $C_M$ totale;
- il centro di massa della sbarra è G
- il centro di massa del disco è C
se considerassi i due oggetti (sbarra e disco) come se fossero due corpi puntiformi con posizioni coincidenti con le posizioni dei rispettivi centri di massa -> otterrei [o almeno credo
] quello totale riferito al sistema di riferimento prescelto (e quindi alla sua origine)In generale:
Considerando che l'origine del sistema di riferimento O è alla distanza $l/4$ dall'estremo superiore della sbarra, io ottengo:
$r_(cm) = (m(l/4) + 8m(l/4+l/2))/(m + 8m) = (25)/(36) l$ _______ [con $l/4 = OG$ e $l/4+l/2= OC$]
allora $h$ è proprio uguale a $(25)/(36)l$
e quindi:
$M=-mgh sin(θ)$
$M=-mg((25)/(36))l sin(θ)$
ma il momento è anche dato dalla relazione (di rotazione): $M_(o)= I_(o) ddot θ$
con $I_(o) = I_(o) text{sbarretta} + I_(o) text{disco}$
In generale, per il TEOREMA DI HUYGENS-STEINER -> $I_(z*) = I_((Cm)(z)) + Md^2$
quindi:
$I_(o) text{sbarretta}= I_G + m (l/4)^2 = 1/(12)ml^2 + ml^2/(16) = 7/(48)ml^2$
$I_(o) text{punto materiale} = 8m (RR)^2 = 8m(l/4+l/2)^2 = 9/2ml^2$
(con $RR$ (distanza OC) ≠ $R$ (raggio disco) e considerando, come detto, il disco come un punto materiale - essendoci cerniera in C)
A questo punto, poiché $I_(o) = 7/(48)ml^2 + 9/2ml^2 = (223)/(48)ml^2$
si ha che: $M=-mg((25)/(36))l sin(θ) = -mg((25)/(36))l(θ)$ per piccole oscillazioni, e $M_(o)= I_(o) ddot θ = (223)/(48)ml^2 ddot θ$
da cui:
$-mg((25)/(36))l(θ)= (223)/(48)ml^2 ddot θ$
e quindi:
$ddot θ + θ ((25)/(36))((48)/(223))g/l = 0$ che è diverso da $ ddot θ + (300)/(223) g/l θ=0 $ !!!
Rifatto 10 volte e viene sempre cosi.. dove sbaglio??
PS. per il [CASO 2 - saldatura] avrei considerato il teorema di Huygens anche per il disco (che non vedrei più come un punto materiale) ma diciamo che, essendo il procedimento molto simile, i problemi permangono...
Spero che la risoluzione quasi completa (anche se non so quanto corretta) dell'esercizio sia utile per quelli che spesso pongono domande su calcolo del centro di massa e del momento di inerzia di sistemi rigidi composti da più corpi.
Grazie in anticipo per le risposte e scusate il "papiro" ma era per essere il più chiaro possibile..
