Ho un dubbio sulla legge di Gauss e vorrei chiedere a voi un chiarimento.
Prendiamo come esempio questo esercizio:
Una sfera conduttrice di raggio \( \displaystyle R \) ha una densità volumica di carica uniforme \( \displaystyle \rho \) . Determinare l'espressione del vettore campo elettrico ad una generica distanza \( \displaystyle r \) dal centro della sfera.
Quello che non riesco a capire è come mai che nel caso in cui \( \displaystyle r>R \) utilizzo il raggio \( \displaystyle r \) nel calcolo della superficie della sfera, mentre utilizzo \( \displaystyle R \) per il volume. Perchè non posso fare il contrario?
Mi spiego meglio. Per svolgere l'esercizio calcolo prima il flusso attraverso la superficie:
\( \displaystyle \phi_E= \int_s E_(r) dS = 4 \pi r^2 E(r) \)
Con la densità \( \displaystyle \rho \) mi ricavo il valore della carica \( \displaystyle q \) :
\( \displaystyle q=\rho V_sfera=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho \)
Quindi utilizzando Gauss ottengo:
\( \displaystyle \varepsilon_0 \phi_E = q \) da cui:
\( \displaystyle E(r)=\frac{ \rho R^3}{3\varepsilon_0r^2} \)
Come mai che il raggio \( \displaystyle R \) della sfera lo utilizzo per il calcolo del volume e non della superficie? Perchè ho capito il procedimento da utilizzare, ma ogni volta che arrivo alla scelta di quale raggio utilizzare mi sbaglio sempre. Ad esempio io avrei utilizzato il raggio \( \displaystyle r \) nel calcolo del volume mentre \( \displaystyle R \) in quello della superficie, e quindi l'esercizio risulta sbagliato.
Grazie in anticipo
Buon fine settimana
Ciaoo
