dubbi proprietà degli assi principali di inerzia

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ciao

propongo un paio di dubbi riguardo le proprietà degli assi p di inerzia..

1. non mi è chiaro perchè, affinchè ad esempio l'asse z sia principale di inerzia, allora i due prodotti di inerzia contenenti z siano nulli.. desumo che il punto P del corpo rigido con coord. $(x,y,z)$ abbia $z=0$.. ma corpo e relativo ellissoide rispetto a un punto del corpo non sono due concetti, come dire, "slegati"?

2.piccolo dubbio di geometria: come mai dicesi che, qualora un corpo $S$ sia piano, allora il piano su cui giace è anche piano di simmetria del corpo stesso? non riesco a figurarmelo..

3. riporto qui quest'ultima proprietà che non ho proprio capito: " se un asse che passa per il baricentro del corpo è asse principale di inerzia rispetto al baricentro, esso è asse principale di inerzia rispetto a qualsiasi punto preso sull'asse stesso".

grazie $oo$

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ho dimenticato un'altro dubbio...

nel procedimento mediante cui si individua l'ellissoide di inerzia, si assume che $ I = 1/d^2$, con $I$ momento di inerzia e $d$ lunghezza lungo l'asse concorrente scelto (che poi si vedrà corrisponderà al semiasse dell'ellissoide).. non mi spiego come mai si assuma che un corpo possa avere un momento di inerzia con le dimensioni di una lunghezza^(-2)..

grazie ancora a chi mi darà qualche spunto

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Comincia col dare un'occhiata a questa discussione:

viewtopic.php?f=19&t=116562

Poi ne riparliamo. Ma non è semplice, perché si tratta di fare tanti passaggi analitici sull'equazione della quadrica di inerzia.

Per il punto 2, è semplice : se la distribuzione di masse è piana , c'è tanta massa sopra il piano quanta ce n'è sotto il piano : cioè zero. Quindi il piano è "di simmetria".

Per il quarto punto , postato a parte : non è che un momento di inerzia ha la dimensione di una lunghezza elevata alla $-2$, eh!

Semplicemente, si assume una unità di misura, come si fa tante volte, ad esempio quando si disegnano forze su un piano.
Si dice : " 1 cm rappresenta la forza di 1N " , per fare un esempio.
E qui s ifa una cosa analoga . Si dice che un segmento $d$ rappresenta : $1/sqrtI$ .

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ti ringrazio moltissimo navigatore per il topic suggeritomi, in particolare molto utile per comprendere le fattezze dei prodotti di inerzia (momenti deviatori) e la conseguente loro assenza qualora siano definiti o un asse principale di inerzia (in tali caso si azzerano i due momenti deviatori circa tale asse) oppure due assi principali di inerzia (e dunque anche il terzo asse, in tal caso tutti i momenti deviatori sono nulli e si parla di $xyz$ come assi principali di inerzia). ottimo anche per la differenza tra assi di simmetria dell'ellissoide e quelli del corpo (sistema).

un'ultima cosa: non mi è ben chiaro:

Per il quarto punto , postato a parte : non è che un momento di inerzia ha la dimensione di una lunghezza elevata alla −2, eh!

Semplicemente, si assume una unità di misura, come si fa tante volte, ad esempio quando si disegnano forze su un piano.
Si dice : " 1 cm rappresenta la forza di 1N " , per fare un esempio.
E qui s ifa una cosa analoga . Si dice che un segmento d rappresenta : 1I√ .

[navigatore]

Guarda, l'ultimo dubbio è in realtà la cosa più semplice.

Si stabilisce una scala di misura , in sostanza. Si dice : "rappresento" con un segmento, da me assegnato, una quantità fisica , rappresentata dall'inverso della radice quadrata di un momento di inerzia. Che cosa non è chiaro, in questa rappresentazione geometrica?
È chiaro che, una volta stabilito un certo segmento come "unita di misura" per la grandezza in oggetto, gli altri segmenti rappresentano la stessa grandezza fisica, più grande o più piccola certamente, ma il tutto è riferito alla "scala di misura" che hai scelto.
Non so in quale altro modo spiegartelo più chiaramente.

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ok in questo caso una scelta simile è di comodo, per ottenere l'ellissoide?

[navigatore]

Certo. Dato un punto P , e tre assi cartesiani in P, l'ellisoide è determinato analiticamente da sei quantità, che sono i tre momenti di inerzia rispetto ai tre assi coordinati e i tre prodotti di inerzia rispetto ai piani coordinati ( come sai i prodotti di inerzia sono simmetrici : $I_(xy) = I_(yx) $ …etc.
Scritta l'equazione della quadrica , che trovi in un qualsiasi buon testo di meccanica razionale, e data una retta passante per l'origine, avente coseni direttori $\alpha, \beta , \gamma$ , si possono determinare i punti di intersezione $R$ ed $S$ della retta con l'ellissoide : il momento di inerzia del corpo rispetto alla retta è semplicemente dato da : $I = 1/(PR)^2 $ .

MA non hai un buon libro di m.r. , dove il tutto è spiegato per bene ? Anche i tuoi dubbi 1 e 3 , per spiegare i quali servono solo dei passaggi matematici, che sarebbe troppo lungo riportare qui.

Comunque in rete trovi già parecchie lezioni di prof universitari.

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grazie navigatore

per meccanica razionale sto usando delle dispense.. spesso molto concise, non riportanti alcune dimostrazioni etc. mi aiuto quando non capisco navigando un po' alla ricerca di quella mezza frase che mi "apra gli orizzonti" sull'argomento..

purtroppo alcune di queste proprietà degli assi principali di inerzia non sono dimostrate, quindi pensavo fossero immediate.. e invece..

la parte sull'ellissoide di inerzia è ben svolta, volevo capire bene perchè si scegliesse di porre tale momento di inerzia

grazie $oo$

[navigatore]

Ti suggerisco un buon testo di m.r. , quello di Dario Graffi, ex professore a Bologna. Se puoi, cerca il suo libro di "Elementi di m.r " - ed. Patron , in qualche biblioteca.

Ma come si fa a pretendere che gli studenti capiscano a fondo certi concetti, se poi non si consiglia loro neppure un libro di testo buono...