Problema: Disco che ruota intorno ad un asse

[S.Antonio]

Buongiorno,
ho dei problemi sulla risoluzione di questo esercizio. Ecco la traccia:

Un disco omogeneo di raggio $R=30cm$ e massa $m=10kg$ ruota inizialmente attorno ad un asse fisso passante per il suo centro con velocità angolare $\omega=15 (rad)/s$. ad un certo istante il disco viene posato su un piano orizzontale scabro con un coefficiente di attrito dinamico $µ_d = 0.25$. Si calcoli il tempo $t$ impiegato dal disco per fermarsi e l'angolo $Ω$ di cui il disco ruota nel tempo.

Inizio col dirvi che già la traccia è alquanto sibillina per me. Non riesco a capire se il disco ruota su sé stesso, oppure, ruotando, si sposti. Tuttavia sto considerando il secondo caso che ho descritto. Dato che agiscono forze di attrito, l'energia meccanica non si conserva, ma si ha $E_m^f$ = $E_m^i + L_(nc)$
Il lavoro prodotto dalla forza di attrito è $L = µ_d$$Ns = µ_dmgs$
L'energia meccanica iniziale è uguale all'energia cinetica di un corpo rigido che ruota, che è $K = 1/2I\omega^2$. L'energia meccanica finale invece è zero ( perchè ho bisogno dell'istante in cui si ferma ), quindi $E_m^i = L_(nc)$, da cui, conoscendo il momento di inerzia di un disco che ruota intorno al proprio asse ( $I = mr^2/2$ ) posso ricavare lo spostamento compiuto. $1/2I\omega^2 = µ_dmgs$ $->$ $s = mr^2w^2/(µ_d4mg)$ $->$ $s=r^2\omega^2/(4µ_dg)$

Dopo aver calcolato questo spostamento, avevo pensato di calcolare la decelerazione attraverso $F = ma$, e ricavare poi il tempo con le leggi della cinematica, ma non sono tanto sicuro. Si tratta per caso di rotolamento puro?
Per l'angolo invece non ho proprio capito cosa voglia dire. grazie in anticipo

[navigatore]

Ciao Antonio, benvenuto nel forum.

Io non ho capito una cosa : questo disco che inizialmente ruota con una certa velocità angolare costante, viene poggiato sul piano " di taglio" oppure " di piatto" ? Perché le cose sono diverse nei due casi.
Anzi, direi senz'altro che il disco vien poggiato di piatto, cioè con la faccia circolare. Solo così si ferma dopo un po' .
Se fosse poggiato di taglio, ci sarebbe un primo tempo in cui rotola ma a causa dello strisciamento rallenta perdendo velocità e quindi energia; poi arrivati alla condizione dI rotolamento puro non perde più energia e si mette a rotolare senza strisciare più.
Naturalmente si prescinde dalla deformazione dei corpi reali e dall'attrito volvente.

[professorkappa]

Ciao Antonio, benvenuto nel forum.

Io non ho capito una cosa : questo disco che inizialmente ruota con una certa velocità angolare costante, viene poggiato sul piano " di taglio" oppure " di piatto" ? Perché le cose sono diverse nei due casi.
Anzi, direi senz'altro che il disco vien poggiato di piatto, cioè con la faccia circolare. Solo così si ferma dopo un po' .
Se fosse poggiato di taglio, ci sarebbe un primo tempo in cui rotola ma a causa dello strisciamento rallenta perdendo velocità e quindi energia; poi arrivati alla condizione dI rotolamento puro non perde più energia e si mette a rotolare senza strisciare più.
Naturalmente si prescinde dalla deformazione dei corpi reali e dall'attrito volvente.

NAvigato', mi sa che se glielo metti di piatto, gli tiri (appunto) un bel piattino a calcolare il momento dell'attrito sulla faccia .

Suggerirei di cominciare col disco di taglio, ma senza rotolare, con mozzo del disco fermo. Pero' non so a che livello sia il nostro S. Antonio?

[navigatore]

PK,
non è per nulla difficile calcolare il momento delle forze di attrito, se metti il disco di piatto sul piano, e te lo farò vedere.

Anche se lo metti di taglio. Ma se non rotola inizialmente, messo di taglio, non rotola mai : problema risolto, tutto è fermo.

Aspettiamo Antonio che dice, no ?

[professorkappa]

Io lo so che non e' difficile, ma Antonio?

[S.Antonio]

Scusate se rispondo solo ora ma ero a lezione. Comunque sia la traccia è quella che ho scritto quindi non so dirvi se di taglio o altre cose .

[navigatore]

I due casi sono nettamente diversi. Io propendo per il disco messo di piatto sul piano con attrito, perché come ripeto sol in questo caso può fermarsi.
Se fosse messo di taglio, dopo una prima fase di rotolamento con strisciamento, in cui il disco perde energia e quindi diminuisce la velocità angolare, si arriva alla condizione di rotolamento puro, e da quel punto in poi il disco, essendo qui in un caso ideale (corpi rigidi), continua a rotolare e a traslare, con moto traslatorio a velocità costante $v$ e moto rotatorio di velocità angolare $\omega$ costante data da $v = \omegaR$ , senza che intervenga la forza di attrito, diventato semplicemente statico.

Perciò , devi considerare il disco, dotato di una velocità angolare iniziale $\omega_0$ , che viene poggiato di piatto sul piano scabro, e quindi subisce un momento di attrito, che fa diminuire la velocità angolare. In sostanza si applica la 2° equazione cardinale della dinamica : "Il momento di forze esterne rispetto a un polo è causa di variazione del momento angolare rispetto a quel polo" .

Tutto sta, quindi, a calcolare questo momento di attrito. Come fare?

Supponi che la densità superficiale del disco, cioè la massa per unità di area , sia $\sigma [(kg)/m^2]$ .

Considera un' area elementare del disco , in coordinate polari : $dA = r*d\theta*dr$ , a cui corrisponde una massa $dm = \sigma*dA$ , quindi un peso elementare, e quindi una forza d attrito elementare : $dF = \mu*g*dm= \mu*g*\sigma*dA$ .
Tale forza di attrito elementare, diretta in ogni punto tangenzialmente al piano in verso contrario al moto, si oppone alla rotazione del disco. Il suo momento rispetto all'asse d i rotazione è :

$dM = r*dF$ .

Per calcolare il momento di attrito totale $M$ , sostituisci le espressioni dette, e calcola l'integrale doppio, rispetto a $\theta $ e rispetto al raggio $r$ . E così ottieni il momento frenante.

Poi scrivi l'equazione della dinamica detta : $ I (d\omega)/(dt) = -M $

dalla quale puoi ricavare l'accelerazione angolare negativa . Alla fine il moto di rotazione sarà uniformemente decelerato, e sarà : $\omega(t) = \omega_0 + \alphat$ (tieni presente che $\alpha < 0 $ ) .

Il tempo di arresto si trova ponendo : $\omega = 0 $ . L'angolo di rotazione si ottiene dall'eq. del moto circolare unif. decelerato.

[S.Antonio]

I due casi sono nettamente diversi. Io propendo per il disco messo di piatto sul piano con attrito, perché come ripeto sol in questo caso può fermarsi.
Se fosse messo di taglio, dopo una prima fase di rotolamento con strisciamento, in cui il disco perde energia e quindi diminuisce la velocità angolare, si arriva alla condizione di rotolamento puro, e da quel punto in poi il disco, essendo qui in un caso ideale (corpi rigidi), continua a rotolare e a traslare, con moto traslatorio a velocità costante $v$ e moto rotatorio di velocità angolare $\omega$ costante data da $v = \omegaR$ , senza che intervenga la forza di attrito, diventato semplicemente statico.

Perciò , devi considerare il disco, dotato di una velocità angolare iniziale $\omega_0$ , che viene poggiato di piatto sul piano scabro, e quindi subisce un momento di attrito, che fa diminuire la velocità angolare. In sostanza si applica la 2° equazione cardinale della dinamica : "Il momento di forze esterne rispetto a un polo è causa di variazione del momento angolare rispetto a quel polo" .

Tutto sta, quindi, a calcolare questo momento di attrito. Come fare?

Supponi che la densità superficiale del disco, cioè la massa per unità di area , sia $\sigma [(kg)/m^2]$ .

Considera un' area elementare del disco , in coordinate polari : $dA = r*d\theta*dr$ , a cui corrisponde una massa $dm = \sigma*dA$ , quindi un peso elementare, e quindi una forza d attrito elementare : $dF = \mu*g*dm= \mu*g*\sigma*dA$ .
Tale forza di attrito elementare, diretta in ogni punto tangenzialmente al piano in verso contrario al moto, si oppone alla rotazione del disco. Il suo momento rispetto all'asse d i rotazione è :

$dM = r*dF$ .

Per calcolare il momento di attrito totale $M$ , sostituisci le espressioni dette, e calcola l'integrale doppio, rispetto a $\theta $ e rispetto al raggio $r$ . E così ottieni il momento frenante.

Poi scrivi l'equazione della dinamica detta : $ I (d\omega)/(dt) = -M $

dalla quale puoi ricavare l'accelerazione angolare negativa . Alla fine il moto di rotazione sarà uniformemente decelerato, e sarà : $\omega(t) = \omega_0 + \alphat$ (tieni presente che $\alpha < 0 $ ) .

Il tempo di arresto si trova ponendo : $\omega = 0 $ . L'angolo di rotazione si ottiene dall'eq. del moto circolare unif. decelerato.

Ok grazie adesso mi è tutto chiaro, anche se non posso farlo perchè non conosco ancora gli integrali doppi

[navigatore]

Non è difficile Antonio .

Poiché : $dM = r*dF = r*\mu*g*\sigma*dA = \mu*g*\sigma*r^2 d\thetadr $ , si deve integrare $dM$ rispetto al raggio e all'angolo :

$M = \mug\sigma\int_0^(2\pi)d\theta\int_0^R r^2dr = ……= 2/3 \mugmR$

dove $m$ è la massa del disco.

Per calcolare l'integrale doppio, si calcola dapprima $\int_0^Rr^2dr = R^3/3$ , e poi si considera $R^3/3$ come una costante , per integrare rispetto a $\theta$ da $0$ a $2\pi$ .

Una volta ottenuto il momento frenante $M$ , si prosegue come ho detto : $I \alpha = I(d\omega)/(dt) = -M $ .

[S.Antonio]

Per calcolare l'integrale doppio, si calcola dapprima $\int_0^Rr^2dr = R^3/3$ , e poi si considera $R^3/3$ come una costante , per integrare rispetto a $\theta$ da $0$ a $2\pi$ .

Cioè $\int_0^(2pi)R^3/3d\theta$ ?