Buonasera. Stavo svolgendo il seguente esercizio. In generale, l'ho capito, e sono riuscito a svolgerlo. Tuttavia ho un dubbio sul calcolo dell'energia cinetica.
Usando le coordinate sferiche, parametrizzo la posizione di ogni punto dell'asta. Dunque $theta$ e $varphi$ sono le coordinate lagrangiane: $theta$ indica l'angolo tra l'asta e l'asse $x_3$; $varphi$ indica l'angolo tra l'asta e l'asse $x_1$.
$vecX=(ssinthetacosvarphi, ssinthetasinvarphi, scostheta), -L<=s<=L$.
Poiché i vincoli sono fissi, $vecv=(partialvecx)/(partialtheta)dottheta+(partialvecx)/(partialvarphi)dotvarphi=s(dotthetacosthetacosvarphi-dotvarphisinthetasinvarphi, dotthetacosthetasinvarphi+dotvarphisinthetacosvarphi, -dotthetasintheta)$.
Non riuscendo ad applicare il th. Koenig, ho deciso di sfruttare la definizione stessa di energia cinetica:
$K=int_(-L)^L1/2m/(lunghezza)v^2ds$, con $v^2=s^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$.
Poiché la lunghezza è $2L$, ottengo:
$K=1/6mL^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$.
Tuttavia per fare uscire il risultato indicato [equazioni di Lagrange] l'energia cinetica sarebbe dovuta essere il doppio di quanto viene a me, cioè ponendo la lunghezza pari a $L$. Ho ricontrollato i calcoli più volte: l'errore è concettuale, credo.
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare, e colgo l'occasione per augurare a tutti un Buon Natale.