Condensatore con materiale nel mezzo

[matitti]

Salve a tutti, ho un problema con un tipo di esercizio. Semplicemente non capisco come funzioni.
Ho un conduttore a facce piane parallele, al cui interno è presente un materiale con costante dielettrica unitaria e una resistività $\rho(x)=\rho_0 * cos(x/a)$ che varia con la lunghezza(considerate il condensatore su un piano cartesiano con le due facce parallele all'asse y e passanti per x=-a e x=a). Al tempo t=0 viene assegnata una forza elettromotrice costante $V_0$ al condensatore e viene poi mantenuta costante. Mi si chiede di determinare il campo elettrico E(x) al tempo t=0 e al tempo t=inf. Dovrei anche trovare eventuali cariche distribuite nel volume del materiale.
Ora... non voglio lo svolgimento dell'esercizio con formule e calcoli vai, mi interessa solo capire come procedere e cosa succede.
Io direi che a t=0 $E=V_0/(2a)$ ma non so se è giusto, mentre a t=inf è possibile che sia costante la densità di carica elettrica che fluisce nel materiale? Di conseguenza direi che $J*rho(x)=E(x)$, sapendo anche che $V=int_-a^a E(x)dx$. Avrei quindi un sistema di due equazioni e due incognite. Una volta trovato il campo posso dire che la carica si accumula come $sigma(x)=E(x)*epsilon_0$ dal teorema di Gauss.

[RenzoDF]

... Io direi che a t=0 $E=V_0/(2a)$ ma non so se è giusto,...

Cero che è giusto, per t=0 non c'è distribuzione di carica nel volume e di conseguenza la divergenza del campo elettrico è nulla e quindi campo elettrico uniforme di modulo $E_x(x)=V_0/(2a)$ (per la simmetria, sola componente x non nulla) ne segue però che la densità di corrente $J_x(x)=(E_x(x)) /(\rho(x))$ sarà funzione di x e avrà divergenza non nulla, portando ad un accumulo di carica nel volume.

... mentre a t=inf è possibile che sia costante la densità di carica elettrica che fluisce nel materiale? Di conseguenza direi che $J*rho(x)=E(x)$, sapendo anche che $V=int_-a^a E(x)dx$. Avrei quindi un sistema di due equazioni e due incognite. Una volta trovato il campo posso dire che la carica si accumula come $sigma(x)=E(x)*epsilon_0$ dal teorema di Gauss.

Si, a t=inf avremo che la carica distribuita nel volume sarà indipendente dal tempo e di conseguenza la divergenza di J sarà nulla e porterà ad una $J_x(x)=J_\infty$ costante; ora sarà però il campo elettrico a non risultare più uniforme ma dipendente dalla coordinata x, $E_x(x)=J_\infty \rho(x)$ il suo integrale in x da -a ad a dovrà comunque risultare pari alla tensione V0 applicata e proprio da quell'integrale potrai determinare $J_\infty $ e quindi $E_x(x)$ e di conseguenza la densità volumetrica di carica dalla sua divergenza $\delta_{vol}(x)=\epsilon_0 \nabla\cdot\vec E=\epsilon_0\frac{\text{d} E_x(x)}{\text{d} x}$.

[matitti]

Grazie mille, sei stato chiarissimo!

[RenzoDF]

Di nulla.