Salve a tutti il mio professore di fisica mi ha dato questa spiegazione riguardo alla rotazione di un corpo rigido, avrei bisogno di alcuni chiarimenti e soprattutto siccome ho perso un pò di dimestichezza con i vettori vorrei un pò di aiuto con le formule.
Il corpo ruota come in figura con una certa velocità angolare $ omega $ successivamente calcolo il momento angolare del pezzettino i-esimo $ Deltam $ rispetto al polo $ Omega $
$ Delta $ $ vec(L)=sum_(i = 1\ldots) vec(r)xx mvec(v) $
Considerato che $ Delta $ $ vec(L) $ è perpendicolare a $ vec(r) $ ottengo
$ Delta $ $ | vec(L)|= Deltam |vec(r)| |vec(v)| senTheta hat(n) $
dove $ hat(n) $ rappresenta il versore perpendicolare al vettore posizione e teta rappresenta l'angolo compreso tra il vettore velocità e il vettore spostamento infinitesimo dr (almeno così credo perchè nel ricopiare il disegno mi sono un pò perso; lo spostamento infinitesimo è comunque tangente alla traiettoria circolare che percorre il nostro pezzettino? Non dovrebbe avere la stessa direzione di v?)
Sostituisco $ |vec(r)| $ con $ h/sin gamma $ visto il triangolo rettangolo formato dal vettore posizione con il raggio e l'asse di rotazione e $ |vec(v)| $ con $ h\omega $ per cui ottengo:
$ h/singamma h\omegaDelta mhat(n) $
scompongo $ hat(n) $ in $ cos(pi /2-gamma )hat(z) +sin(pi /2-gamma )hat(n_|_ ) $
alla fine quindi ottengo:
$ Delta $ $ vec(L) $ = $ (h^2Delta m) vec(\omega)+ (h^2Delta m)cotgamma \omegahat(n_|_ ) $
Ovviamente il momento angolare totale sarà la sommatoria di tutti i momenti angolari i-esimi
Ora le domande:
1) quanto vale il modulo di questa roba?E il momento di inerzia?
2) per cotangente di 90 il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione per cui il secondo termine non c'è giusto?
3) come si scompone il momento angolare lungo gli assi? Quali sono i vettori? I loro moduli?
4) La velocità angolare in tutti i casi che ho visto sul libro (es. sbarretta che ruota con momento angolare parallelo all'asse di rotazione, sbarretta che forma un angolo con l'asse ecc.) è sempre costante? Se volessi modificare il modulo di omega senza modificare la direzione che succede? E se volessi modificare la direzione?
5) Come si ottiene attraverso i calcoli vettoriali il momento delle forze? E le sue componenti lungo gli assi? Si può ottenere trattandolo come la derivata di un vettore con modulo costante? Come si inserisce la formula di poisson?
Mi rendo conto che forse l'ho fatta un pò difficile e troppo lungo e spero abbiate la pazienza ed il tempo di rispondermi. Come potete intuire la mia confusione, purtroppo, è frutto maggiormente di alcune mie lacune sul "fantastico" mondo dei vettori, quindi vi prego, sempre se possibile, di non essere brevi nei diversi passaggi. Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno contribuire