Normalizzazione funzione d'onda

[Light_]

Salve a tutti ragazzi ,

non sto riuscendo a capire come normalizzare questa funzione d'onda.

Allora ho :

$ psi(r,theta,phi )=Ax(r)(costheta +sinthetacosphi) $

Devo trovare la A "normalizzante " ,
mi si dice che la parte radiale è già normalizzata , allora ho solo da trovarmi questo :

$ |A|^2int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi)|-isqrt((4pi)/3)Y_(1,0)-i/2sqrt((8pi)/3)(Y_(1,-1)-Y_(1,1))|^2sintheta d theta dphi=1 $

Qui ho inserito le armoniche sferiche , per rendere più semplice il calcolo.

Il risultato corretto è $A=sqrt(3/(8pi)$

Ora il problema è questo , se mi calcolo solo la norma arrivo al risultato giusto , se invece , proseguo con la mia logica,
mi si impiccia tutto con quel $sintheta$ fuori dalla norma ..

Grazie per l'aiuto.

[Spremiagrumi]

Non ho ben capito dove stai sbagliando sinceramente però ti posso mostrare i passaggi corretti.

Abbiamo che $costheta=sqrt((4pi)/3)Y_(0,1)$

$cosphi=(e^(iphi)+e^(-iphi))/2$

ancora

$sintheta*e^(iphi)/2=-1/2sqrt((8pi)/3)Y_(1,1)$ e $sintheta*e^(-phi)/2=1/2sqrt((8pi)/3)Y_(1,-1)$

Qundi possiamo scrivere la funzione come

$Asqrt((4pi)/3)(Y_(0,1)+1/sqrt(2)Y_(1,-1)-1/sqrt(2)Y_(1,1))$

Se imponiamo la normalizzazione abbiamo che

$|A|^2(4pi)/3int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) sintheta |(Y_(0,1)+1/sqrt(2)Y_(1,-1)-1/sqrt(2)Y_(1,1))|^2d theta dphi=1$

ma sappiamo che le armoniche sferiche sono una base ortonormale quindi (sotto il segno di integrale) avremmo che $Y_a*Y_b=delta_(a,b)$ qundi

$|A|^2*(4pi)/3(int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,0)|^2sinthetad thetadphi + 1/2int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,1)|^2sinthetad thetadphi + 1/2int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) |Y_(1,-1)|^2sinthetad thetadphi)= |A|^2*(4pi)/3(1+1/2+1/2)=1$

$|A|^2(4pi)/3*2=1rArr A=sqrt(3/(8pi))$

[Light_]

Ti ringrazio per avermi scritto tutto .

Hai ragione a non capire dove sbagliavo , non sbagliavo .

In tranquillità , ne avrò fatti mille di esercizi di questo genere , sono arrivato da solo fino al tuo terz 'ultimo passaggio .

Poi PAMMM , qualcosa mi si è spento dentro il cervello.

In pratica preso un termine qualunque $|Y_(1,-1)|^2$ dentro l'integrale , lo consideravo , uguale a 1 ,
senza neanche pensare al seno , da li poi mi calcolavo l'integrale con il seno dentro ..
Che dire mi vergogno un po

Più che ringraziarti , ti chiedo scusa per il tempo che t'ho fatto perdere.

PS: ho visto che stai preparando l'esame di astrofisica ,
da te è un corso a scelta vero ?

[Spremiagrumi]

Figurati, mi fa bene ripassare.

PS: ho visto che stai preparando l'esame di astrofisica ,
da te è un corso a scelta vero ?

No, è un corso obbligatorio. Perché me lo chiedi?

[Light_]

Nella mia università è un corso a scelta , con tutte le relative conseguenze...