rotazione corpo rigido e momento di inerzia

[emmerre]

Salve a tutti il mio professore di fisica mi ha dato questa spiegazione riguardo alla rotazione di un corpo rigido, avrei bisogno di alcuni chiarimenti e soprattutto siccome ho perso un pò di dimestichezza con i vettori vorrei un pò di aiuto con le formule.

Il corpo ruota come in figura con una certa velocità angolare $ omega $ successivamente calcolo il momento angolare del pezzettino i-esimo $ Deltam $ rispetto al polo $ Omega $

$ Delta $ $ vec(L)=sum_(i = 1\ldots) vec(r)xx mvec(v) $

Considerato che $ Delta $ $ vec(L) $ è perpendicolare a $ vec(r) $ ottengo

$ Delta $ $ | vec(L)|= Deltam |vec(r)| |vec(v)| senTheta hat(n) $

dove $ hat(n) $ rappresenta il versore perpendicolare al vettore posizione e teta rappresenta l'angolo compreso tra il vettore velocità e il vettore spostamento infinitesimo dr (almeno così credo perchè nel ricopiare il disegno mi sono un pò perso; lo spostamento infinitesimo è comunque tangente alla traiettoria circolare che percorre il nostro pezzettino? Non dovrebbe avere la stessa direzione di v?)

Sostituisco $ |vec(r)| $ con $ h/sin gamma $ visto il triangolo rettangolo formato dal vettore posizione con il raggio e l'asse di rotazione e $ |vec(v)| $ con $ h\omega $ per cui ottengo:

$ h/singamma h\omegaDelta mhat(n) $

scompongo $ hat(n) $ in $ cos(pi /2-gamma )hat(z) +sin(pi /2-gamma )hat(n_|_ ) $

alla fine quindi ottengo:

$ Delta $ $ vec(L) $ = $ (h^2Delta m) vec(\omega)+ (h^2Delta m)cotgamma \omegahat(n_|_ ) $

Ovviamente il momento angolare totale sarà la sommatoria di tutti i momenti angolari i-esimi

Ora le domande:

1) quanto vale il modulo di questa roba?E il momento di inerzia?
2) per cotangente di 90 il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione per cui il secondo termine non c'è giusto?
3) come si scompone il momento angolare lungo gli assi? Quali sono i vettori? I loro moduli?
4) La velocità angolare in tutti i casi che ho visto sul libro (es. sbarretta che ruota con momento angolare parallelo all'asse di rotazione, sbarretta che forma un angolo con l'asse ecc.) è sempre costante? Se volessi modificare il modulo di omega senza modificare la direzione che succede? E se volessi modificare la direzione?
5) Come si ottiene attraverso i calcoli vettoriali il momento delle forze? E le sue componenti lungo gli assi? Si può ottenere trattandolo come la derivata di un vettore con modulo costante? Come si inserisce la formula di poisson?

Mi rendo conto che forse l'ho fatta un pò difficile e troppo lungo e spero abbiate la pazienza ed il tempo di rispondermi. Come potete intuire la mia confusione, purtroppo, è frutto maggiormente di alcune mie lacune sul "fantastico" mondo dei vettori, quindi vi prego, sempre se possibile, di non essere brevi nei diversi passaggi. Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno contribuire

[emmerre]

vi prego aiutatemi

[professorkappa]

Ma la normale spiegazione si trova su tutti i testi di fisica I.
Ci sono un sacco di errori formali nel post.

Tanto per cominciare, se $L_i$ e' il momento angolare della massettina rappresentata in figura, la scrittura corretta e'

$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\vec{r_i}timesvec{v_i $

Da dove salta fuori quel $DeltaL$???
A prescindere dalla cattiva scrittura, continui: " considerato che $DeltaL$ e' perpendicolare a $\vec{r}$".....
No, che sia perpendicolare e' una conseguenza, non una considerazione aprioristica per continuare il ragionamento.

Quindi andiamo ad analizzare il prodotto vettoriale della sommatoria.

Consideriamo (ora si!) che la velocita $\vec{v_i}$ e' sempre perpendicolare al vettore $\vec{r_i}$, il prodotto vettoriale sara un vettore ortogonale al piano individuato del vettore $\vec{v_i}$ e $\vec{r_i}$.

Il modulo e' esattamente $v_ir_i$ (perche sono perpendicolari quindi il seno del loro angolo e' 90).

La direzione e' un vettore diretto verso l'asse che forma un angolo di $\gamma_i$ rispetto al piano ortogonale a z, passante per la massa (quello che contiene la circonferenza).

Le sue componenti sono dunque

$ r_iv_isin\gamma_i $ (parallelo a z)
$ r_iv_icos\gamma_i $ (ortogonale a z, e diretto verso il centro della circonferenza.

In definitiva:

$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\v_ir_isin\gamma_i\vec{k}+sum_(i = \1ldotsn)dm_i\v_ir_icos\gamma_i\vec{n}$ ($\vec{n}$ e' il versore centripeto).

Il secondo addendo si annulla, perche somma di vettori uguali "centrali" (e questo avviene per ogni singola massettina, dato che si muovono tutte su circonferenze)

E se teniamo conto che $v_i=\omegah_i$ e $r_isin\gamma_i=h$, per sostituzione, il primo addendo diventa:

$ L=sum_(i = \1ldotsn)dm_i\omegah_icdot\frac{h}{sin\gamma_i}sin\gamma_i\vec{k} = sum_(i = \1ldotsn)dm_i\omegah_i^2\vec{k}$

Siccome $\omega\vec{k}$ e' costante (pari a $\vec{\omega} $, si puo tirare fuori dalla sommatoria.

E per definizione di momento di inerzia, $sum_(i = \1ldotsn)dm_ih_i^2= I$

Da cui $L=I\vec{\omega}$.

Per finire, e' anche imprecisa questa dimostrazione, perche la sommatoria si usa per un sistema finito di masse. Avremmo dovuto usare l'integrale per la figura che hai postato tu, ma non volevo sconvolgere troppo il post originale.

[emmerre]

Innanzitutto grazie per la risposta; adesso cerco di chiarire meglio alcuni punti.
Per quanto riguarda la sommatoria avevo omesso gli indici perchè non sapevo come inserirli con il latex, infatti l'avevo specificato a parole, il delta L viene fuori perchè il mio professore era partito da un sistema discreto per poi dire che trattandosi di un corpo rigido si aveva un sistema continuo e quindi andava introdotto l'integrale.
Evidentemente mi sono espresso male per quanto riguarda la perpendicolarità del vettore momento angolare rispetto al vettore posizione.

Il modulo e' esattamente v i r i (perche sono perpendicolari quindi il seno del loro angolo e' 90).

Che fine ha fatto dm?

La direzione e' un vettore diretto verso l'asse che forma un angolo di γ i rispetto al piano ortogonale a z, passante per la massa (quello che contiene la circonferenza).

Le sue componenti sono dunque

r i v i sinγ i (parallelo a z)
r i v i cosγ i (ortogonale a z, e diretto verso il centro della circonferenza.

Ti riferisci sempre al vettore momento angolare? Se è questo, non dovrebbe essere perpendicolare al piano formato da v ed r?

In definitiva:

L=∑ i=1...n dm i v i r i sinγ i k ⃗ +∑ i=1...n dm i v i r i cosγ i n ⃗ (n ⃗ e' il versore centripeto).

Tu dici che il secondo addendo si annulla, ma questo vero solo se il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione o sbaglio?

Forse ho interpretato male le tue parole. spero avrai ancora la pazienza di aiutarmi. grazie ancora

[professorkappa]

Figurati,non c'e' problema, siamo qui proprio per chiarirci. Purtroppo dare spiegazioni per iscritto e' molto piu' difficile che non discutere a viva voce quando entrambi possono intervenire in tempo reale.

Allora, punto per punto:


La questione del $\Delta$ era puramente formale: il $\Delta$ si usa normalmente per descrivere una variazione della della grandezza tra due istanti (generalmente finiti).

Siccome tu stai calcolando un momento angolare (non una differenza), sia in un sistema continuo che discreto dovresti scrivere $L$, non $\DeltaL$. Ma, ripeto, era una formalita'.

Che fine ha fatto dm?

Il $dm_i$ non l'ho fatto sparire. Rimane nella sommatoria (o meglio nell'integrale, perche, sempre per fromalismo, nella sommatoria basterebbe scrivere $m_i$).
I calcoli successivi si riferiscono al solo prodotto vettoriale $r times v$, tant'e' che $m_i$, ritorna dopo, durante le sostituzioni.

Ti riferisci sempre al vettore momento angolare? Se è questo, non dovrebbe essere perpendicolare al piano formato da v ed r?

Quando sviluppi quel prodotto vettoriale, ottieni un vettore ortogonale al piano individuato da $r$ e $v$, quindi puntato in direzione dell'asse z, "innalzato" rispetto al piano della circonferenza su cui si muove la massa, di $\gamma$. L'ho scritto chiaramente, perche e' la considerazione su cui costruire il resto del ragionamento.

Tu dici che il secondo addendo si annulla, ma questo vero solo se il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione o sbaglio?

La domanda e' impropria:
Nel senso che $r_i times v_i$ per quel che ne sai tu durante i calcoli non e' il momento angolare, ma un prodotto vettoriale, che a sua volta, dunque, produce un vettore. Che moltiplicato per la massa e poi sommato su tutte le masse (o integrato, nel caso continuo), ti da il momento angolare $L$.
Pero' prima di fare l'operazione di sommatoria, conviene notare cosa accade alle sommatorie dei componenti del vettore.
E si nota che i componenti ortogonali si annullano per i motivi spiegati prima.
Ne consegue che il momento angolare e' sommatoria solo di componenti paralleli a z (ortogonali al piano della circonferenza) e di conseguenza il vettore momento angolare DEVE essere parallelo a z.
Fatto confermato dalla formula finale a cui si arriva: $L=I\omega\vec{k}$ che si legge, in italiano prolisso e con un certo grado di ridondanza:
"il vettore momento angolare e' un vettore di modulo pari al prodotto di I (comunemente noto come "momento di inierzia") e $\omega$ (comunemente noto come "velocita' angolare"). Il suo verso e la direzione sono individuati da $\vec{k}$, versore associato all'asse di rotazione".

Spero che sia piu' chiaro adesso.

[emmerre]

Mi rendo conto che è difficile comunicare in questo modo e come puoi notare, al di là dei formalismi, ho difficoltà a farti comprendere i miei dubbi. Sto studiando sul mencuccini (spero che tu ne sia munito così forse riusciremo a parlare la stessa lingua. Cap. 7 par. 7.2) dove fa questa differenza: corpo simmetrico rispetto all'asse e corpo asimmetrico. Nel caso ci sia simmetria alla fine di tutta la "giostra" il momento angolare totale del sistema risulta:

$ vec(L_c)=int dmh^2hat(c)omega $

dove il versore c è il versore dell'asse. In questo caso il momento della risultante delle forze è nullo poichè il vettore momento angolare è costante.
Se non c'è simmetria (nel libro dice che aggiunge una massettina, per cui si calcolo il momento relativo alla massettina e lo somma al precedente) viene fuori:

$ vec(L_c)=vec(L_c)+vec(L_0)=I_chat(c)\omega+r_0m_0\omegah_0hat(n_0)=vec(I)\cdot \omega $

dove $ vec(I)=I_chat(c)+r_0mh_0hat(n) $ è un vettore solidale al sistema (e dunque rotante con esso), caratteristico del sistema e dell'asse. (ovvero?)

Poi aggiunge: se il sistema ruota in torno a quest'asse con velocità angolare costante il momento angolare non è costante a parte il suo modulo. Dunque il momento della risultante delle forze è diverso da zero.

Dopo questo scompone il momento angolare sugli assi (e non mi trovo) per cui si sarà una componente lungo l'asse e una perpendicolare all'asse; in particolare la derivata di quest'ultima la scrive mediante la formula di poisson, ecc...ed io mi perdo.

In conclusione ho capito cosa succede, ma a livello di formule prodotti vettoriali, scalari, sommatorie, integrali ecc. mi perdo e alla fine mi sembra di non aver capito nulla. E' evidente la mia frustrazione, ad ogni modo grazie ancora per l'aiuto e spero con quest'ultimo post di essere riuscito a spiegare meglio i miei dubbi.

[professorkappa]

Ho studiato dal Mencuccini, ma 30 anni fa, e quindi anche smse ne avessi copia probabilmente sarebbe diversa dalla tua...
I concetti ovviamente restano gli stessi, per cui se mi dai un attimo di tempo cerchero ' di spiegarteli.
Non ho capito cosa non ti e' chiaro, pero'. Il concetto di momento angolare? Lo sviluppo delle formule nel Mencuccini?
La differenza tra sistemi simmetrici e non simmetrici?
Tanto che scrivo il post di risposta, mi metti sualla buona strada?

[emmerre]

Non mi é molto chiaro lo sviluppo delle formule in particolare nella scomposizione dei vettori ovviamente in tutti e due i tipi di sistemi. Sarebbe utilissimo avere anche un confronto con dei disegni se possibile. Comunque ripeto che il mio problema nasce da una scarsa dimestichezza con i vettori per questo alcuni passaggi mi sembrano arcani o non riesco a vedere i collegamenti. Grazie ancora per la disponibilità

[professorkappa]

Boh, vediamo se riesco a spiegarlo.

Supponiamo la massa simmetrica, come all'inizio.

Allora per definizione di momento angolare:

$ \vec{L}=int_(m) dmcdot\vec{r}times\vec{v} $
Mi sembra che tu abbia capito i passaggi precedenti (cioe' che il prodotto vettoriale e' un vettore ortogonale al piano individiuato ad $\vec{r}$ e $\vec{v}$, inclinato di $\gamma$ rispetto al piano individuato dalla circonferenza e dunque

Il componente "orizzontale" si elimina (simmetria: tutte le masse che girano sull circonferenza hanno, in posizione diametralmente opposta, una massa con momento uguale e contrario)
I componenti si sommano fino ad ottenere :

$ \vec{L}=I\vec{\omega}=\vec{I}\omega=I\omega\vec{c} $ (tutte scritture equivalenti, e usato $\vec{c}$ per l'asse per congruenza con la tua notazione.

Nota che fino ad adesso non ci sono forze ne momenti in gioco.
Perche'? Perche' il momento e' costante: I e' una caratteristica del corpo che non cambia (una volta assegnato l'asse di rotazione) se il corpo e' rigido. In assenza di attrito $\vec{omega}$ resta costante. Pertanto se il corpo sta ruotando liberamente attorno a un asse e nulla varia vuol dire che la risultante di tutti i momenti e' nulla.
L'analogo di questa formula per e' $\vec{Q}=m\vec{v}$, cioe' la quantita di moto e pari alla massa per la velocita'. E siccome la risultante delle forze e' pari alla variazione di qdm, se questa non cambia, vuol dire che non ci sono forze applicate al corpo oppure la loro risultante e' nulla. Qui sei nello stesso identico caso, ma ora la caratteristica che ha il sistema e' che ruota. Quindi alle forze devi sostituire i loro momenti, alla massa, la massa rotazionale (momento di Inerzia I) e alla velocita' $\vec[v}$, quella angolare $\vec{\omega}$.

Fino a qui ci sei????

Se si andiamo avanti.

Supponi di aggiungere una massa che rompe la simmetria del sistema.
La massa, chiamiamola $m_1$, e' appiccicata alla massa m, a distanza $h_1$ dall'asse di rotazione.
Usando lo stesso polo di rotazione per il calcolo del momento, il momento angolare della massa sbilanciante e'

$\vec{L_1}=m_1cdot\vec{r_1}times\vec{v_1}$

Questo prodotto vettoriale e', di nuovo, un vettore:
- di modulo $v_1r_1$
- ortogonale al piano individuato da $r_1$ e $v_1$ (piano che RUOTA attorno all'asse $c$, e' importante notare, di velocita' $\omega$)

Scomponi ora questo vettore su due componenti: una rispetto all'asse di rotazione $c$ e l'altra rispetto ad un asse ortogonale a $c$ (anch'esso RUOTANTE attorno a $c$ con vel. ang, $\omega$)

Ottieni che:
Per la componente parallela $c$
$L_1c = mv_1r_1sin\gamma=m_1h_1^2\omega$

avendo tenuto conto che
$v_1=\omegar_1sin\gamma$ e
$r_1sin\gamma=h_1$

Se hai seguito fino a qui, dammi conferma, perche il punto nodale viene ora. Se hai dubbi tolgiamoceli ora!

[emmerre]

Tutto perfetto tranne quando parli di quantitá di moto. Ok sul fatto che se la quantitá di moto é costante allora la risultante delle forze é nulla, ma nn capisco cosa vuoi dire quando dici che il caso é identico a quello di prima. Perché adesso parli di forze e di momenti delle forze? Non vedo il nesso.