Evoluzione temporale momento angolare (M.Q)

[Light_]

Salve a tutti ,

Ho uno stato quantistico

$ (L_x+L_z)/(sqrt2)|psi> _(t=o)=|psi> _(t=o) $

tale che una misura del momento angolare totale dia 1.

Mi sono determinato

$ |psi> _(t=o) $ .

Ora io ho l' Hamiltoniana

$ H=(L^2)/(2I)+alphaL_z $

mi sono calcolato l'evoluzione temporale della mia funziona d'onda e tutto ok.

Mi si chiede poi di calcolare l'evoluzione temporale dei valori d'aspettazione delle tre componenti del momento angolare,

per $L_z$ non ho problemi , dato che commuta con l' Hamiltoniana.

Mi sono poi calcolato il valore d'aspettazione al tempo $t=0$ delle rispettive due componenti :

$ <L_x>_(t=0)=2sqrt2(ab+bc) $
$<L_y>_(t=0)=0$

Ora devo calcolarne l'evoluzione temporale ,
allora ho :

$ (dL_x)/(dt)=-alphaL_y $ e

$ (dL_y)/(dt)=alphaL_x $

Inoltre

$ (dL_+)/(dt)=ialphaL_+ $

$ (dL_-)/(dt)=-ialphaL_+ $

Quindi :

$ L_+-(t)=L_+(0)e^(+-ialphat) $

Da qui mi calcolerò l'evoluzione temporale di $<L_(x,y)>_t$ usando le combinazioni lineari di questi due che ho trovato.

Ora non capisco perche il mio testo sostituisce a

$ L_+(0)=L_x(0) $

e mi scrive , una cosa del tipo

$ L_y(t)=L_x(0)sin(alphat) $

ok invece quando mi dice

$ L_x(t)=L_x(0)cos(alphat) $

Questa è la notazione esatta usata nella soluzione dell'esercizio.

In effetti mi sembra che così si sia calcolato l'evoluzione temporale degli operatori del momento nelle due direzioni ,e che non abbia insomma terminato l'esercizio,

comunque sia non capisco il perchè di questa sostituzione:

$ L_+(0)=L_x(0) $ da cui poi deriva :

$ L_y(t)=L_x(0)sin(alphat) $



Grazie per l'aiuto.

[Spremiagrumi]

Non ho ben capito, dovresti calcolare il valore di aspettazione di $L_x$ e $L_y$ della funzione d'onda ad un tempo generico?

[Light_]

Si esattamente , scusami per la notazione poco precisa.

Ho sistemato un po le cose..

[Spremiagrumi]

Ci sono più modi per svolgere questo esercizio, ti chiedo una cosa però

Ora devo calcolarne l'evoluzione temporale ,
allora ho :

$ (dL_x)/(dt)=-alphaL_y $ e

$ (dL_y)/(dt)=alphaL_x $

Inoltre

$ (dL_+)/(dt)=ialphaL_+ $

$ (dL_-)/(dt)=-ialphaL_+ $

Quindi :

$ L_+-(t)=L_+(0)e^(+-ialphat) $

Questo lo hai trovato tu o te lo dava già l'esercizio? Comunque può svolgere anche senza queste relazioni oppure le si possono ricavare.

Dovresti aver trovato la funzione d'onda

$psi=A((3+2sqrt2),(2+2sqrt2),1)$

e al tempo t:

$psi(t)=A((3+2sqrt2)e^(-i(1/I+alpha)t),(2+2sqrt2)e^(-i/It),e^(-i(1/I-alpha)t))$

Possiamo usare le matrici del momento angolare $1$ per calcolare i nostri valori di aspettazione. Le matrici che ci servono sono $L_x, L_+$

$L_x=1/sqrt2( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $
$L_+=sqrt2( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Possiamo quindi calcolare il i valori di aspettazione al tempo $t=0$

$psiL_xpsi=|A|^2(24+16sqrt2)$
$psiL_+psi=|A|^2(24+16sqrt2)$

quindi

$<L_x>(0)=<L_+>(0)$

ed essendo $L_+=L_x+iL_y$ per definizione troviamo che

$<L_y>(0)=0$

Svolgendo un calcolo diretto troviamo anche

$psi(t)^*L_xpsi(t)=|A|^2(24+16sqrt2)cos(alphat)=<L_x>(0)cos(alphat)$

$psi(t)^*L_+psi(t)=<L_+>(0)e^(ialphat)=<L_x>(0)e^(ialphat)$

Adesso, usando ancora la formula $L_+=L_x+iL_y$ e semplificando un po' la notazione, possiamo trovare $<L_y(t)$>

$L_xe^(ialphat)=L_xcos(alphat)+iLy=L_x/2(e^(ialphat)+e^(-ialphat))+iL_yrArriL_y=L_x/2(2e^(ialphat)-e^(ialphat)-e^(-ialphat))=L_xsin(alphat)/irArrL_y=L_xsin(alphat)$

Io avrei usato direttamente la matrice $L_y$ ma forse questo è un modo migliore senza quei numeri complessi in mezzo.

[Light_]

Questo lo hai trovato tu o te lo dava già l'esercizio?

Le ho trovate io ,
sulla raccolta di esercizi che sto usando
questo è il modo di agire più che altro.

Sto cercando di risolvere ogni esercizio usando più metodi ,
in questo caso direi che è stato deleterio..

All' esame sicuramente userò le matrici , mi sento più sicuro .
Inoltre se le avessi usate da subito anche qui,
quella relazione mi sarebbe parsa subito evidente.

Grazie mille per l'aiuto !