rotazione corpo rigido e momento di inerzia

[professorkappa]

Tutto perfetto tranne quando parli di quantitá di moto. Ok sul fatto che se la quantitá di moto é costante allora la risultante delle forze é nulla, ma nn capisco cosa vuoi dire quando dici che il caso é identico a quello di prima. Perché adesso parli di forze e di momenti delle forze? Non vedo il nesso.

Non e un nesso, e' un'analogia.
Nel caso di movimenti rettilinei usa forze e quantita' di moto.
Nel caso di moti rotatori, usi momenti e momenti della quantita' di moto.

Serve solo a facilitare la comprensione e a mostrare che c'e' una dualita' tra moti traslatori e moti rotatori. Ogni grandezza nei moti traslatori ha un'equivalente grandezza nel moto rotatorio:
massa m -> momento di inerzia I
Forza -> Momento
velocita' -> velocita' angolare

e cosi via.

Allora riprendiamo.
Nel caso dell'asse passante per il piano di simmetria, il momento angolare $L$ e' costante.
Infatti I e' costante e $\omega$, in assenza di momenti e' costante.
Siccome la risultante dei momenti e' pari alla variazione di $L$ (che e' nulla), vuol dire che la risultante dei momenti esterni e' nulla.
Vuol dire che il corpo ruota e l'asse di rotazione resta fisso o tutt' al piu' si muove parallelamente a se stesso.
In questo caso, ai miei tempi, si diceva che l'asse e' un asse libero di rotazione.
Ti ricordo che $\vec{L_c}=I_c\vec{\omega}$.

A causa dell'aggiunta della massa, il momento totale ora varia, non solo in modulo, ma anche in direzione, poiche' e' la somma del momento angolare simmetrico $\vec{L_c}$ piu' il momento angolare dovuto alla massa asimmetrica $\vec{L_{1c}$:

$\vec{L_t}=\vec{L_c}+\vec{L_1}=I_c\vec{omega}+\vec{L_{1c}$

Sommando per componenti, lungo l'asse $c$ e quello ortogonale a $c$ passante per la massa asimmetrica:

Componente di $\vec{L_t}$ lungo l'asse, somma delle due componenti lungo l'asse dei due momenti angolari:
$L_{tc}=I_c\omega+m_1h^2\omega = (I_c+m_1h^2)\omega$

La quantita' tra parentesi e' un momento di inerzia "generale", perche somma del momento di inerzia della massa simmetrica e di quello della massa asimmetrica. Quindi lo possiamo chiamare $I'_c$ e possiamo scrivere che

$L_{tc}= (I_c+m_1h_1^2)\omega = I'_c\omega$.

Resta adesso da calcolare la componente ortogonale. Il momento angolare simmetrico non ha componente ortogonale.
Quindi la sola componente ortogonale del momento angolare totale $L_t$ e' dovuta alla massa sbilanciante.
La sua quantita' non ci interessa, per cui lo indichiamo semplicemente come

$L_{cn}$ (componente ortogonale a $c$ di $L$.

Quello che ci interessa e' che il maledetto ruota! E siccome ruota, anche se il suo modulo si mantiene costante, il vettore stesso non e' costante. Quindi la sua derivata ${d\vec{L_{cn}}}/{dt}$ non e' nulla.
E siccome la variazione del momento angolare rispetto al tempo e' pari al momento delle forze esterne, significa per forza di cose, che il momento delle forze esterne NON e' nullo.
Cioe', a causa dell'asimmetria, l'asse non e' piu' un "asse libero di rotazione": quindi, abbandonando il sistema a se stesso, l'asse di rotazione tenderebbe a rotare intorno a un asse ortogonale ad esso (nel caso simmettrico stava fermo, o al piu' traslava parallelamente a se stesso). L'unico modo per mantenerlo parallelo a se stesso e' quello di applicare un momento esterno, che (normalmente) viene applicato all'asse per il tramite dei cuscinetti (vincoli) dell'asse.

E qui mi rifermo per riprendere fiato ed essere sicuro che non ci siano dubbi prima di valutare ${d\vec{L_{cn}}}/{dt}$.

[emmerre]

Ok ti seguo. L'unica cosa che ti chiedo ancora è di aggiungere i versori e gli angoli così da poter avere un quadro completo di tutta la questione e finalmente togliermi ogni dubbio per quanto riguarda la scomposizione di sti maledetti vettori. Grazie sei diventato la mia salvezza

[professorkappa]

Non occorre aggiungere ulteriori versori e angoli:
I versori che descrivono pienamente il sistema sono il versore $\vec{c}$ (che individua l'asse di rotazione) e il versore $\vec{n}$ (che finora non ho mai menzionato esplicitamente, ma solo descritto a parole: e' il versore individuato dal prodotto vettoriale $\vec{r}times\vec{v}$, cioe' il famoso versore ruotante che punta sempre l'asse di rotazione, formando l'angolo $\gamma$ con il piano della circonferenza dove circola la massa $m_1$ sbilanciante. puoi visualizzarlo "appiccicato" alla massa $m_1$.

$\gamma$ e' quello della tua figura, ed e' sufficiente a descrivere il sistema.

Riprendo (e non c'e' molto da dire): Allora abbiamo visto che la massa asimmetrica "sbilancia" il vettore momento angolare totale. Se la massa asimmetrica non fosse presente, il momento angolare e' un vettore costante ($I\omega\vec{c}$) sia in modulo che in verso, parallelo sempre all'asse. Siccome non varia, il momento delle forze esterne e' nullo, e quindi l'asse di rotazione sta fermo (escludiamo da ora in poi il fatto che si puo' muovere parallelamente a se stesso).

Nel caso di massa asimmetrica, il vettore momento angolare e' ruotato di un certo angolo (chiamiamolo $\theta$) e pertanto descrive un cono di apertura $\theta$, con vertice nel polo $\Omega$.

Attenzione che $\theta$ e' in generale diverso da $\gamma$, dipendendo entrambi gli angoli dalla scelta del polo di rotazione, cioe dalla distanza del polo $\Omega$ dal piano ortogonale a $\vec{c}$ e passante per la massa asimmetrica.

Questo vettore rotante ha, come gia' detto, componente parallela all'asse pari a

$(I+m_1h_1^2)\omega\vec{c}$

Invece, la componente (rotante) lungo l'asse orizzontale e' quella che fa si che il moto di rotazione possa avere luogo solo se e' applicato un momento di forze. Infatti, il modulo della componente orizzontale resta costante, ma non resta costante le direzione.

Ora, in generale, la derivata di un vettore $\vec{L}=L\vec{\tau}$, che ruota di velocita angolare $\omega$, e'

$ {d\vec{L}}/{dt}={d(L\vec{\tau})}/{dt}= {dL}/{dt}\vec{\tau}+L{d\vec{\tau}}/{dt} $ ($\vec{\tau}$ e' il "raggio versore")

Se il modulo e' costante (come nel nostro caso), ${dL}/{dt}=0$.
Resta da valutare il secondo addendo dell'ultimo membro, e per farlo basta considerare che Il raggio versore ha componenti nel piano di rotazione

$\vec{\tau}=(cos\theta,sin\theta)$

Derivando rispetto al tempo:

$ {d\vec{\tau}}/{dt}=({dcos\theta}/{dt}, {dsin\theta}/{dt})=(-{d\theta}/{dt}sin\theta,{d\theta}/{dt}cos\theta)=\omega(-sin\theta,cos\theta) $

In definitiva,

$ {d\vec{L}}/{dt}=L\omega(-sin\theta,cos\theta)$

Il termine tra parentesi e' un versore di modulo unitario, ruotato di 90 gradi rispetto a $\vec{n}$ (basta disegnarli e te ne rendi conto).
Allora, $ {d\vec{L}}/{dt}$ e' un vettore:

(1) Di modulo $L\omega$
(2) Ruotato di 90 gradi rispetto a $\vec\L$

quindi con scrittura compatta, puoi scrivere che :

$ {d\vec{L}}/{dt}=\vec{\omega}times\vec{L}$ (per dfinizione di prodotto vettoriale, se ruoti $\vec{\omega}$ su $\vec{L}$ secondo la mano destra, ottieni un vettore che soddisfa esattamente (1) e (2).

Quindi, nota la componente orizzontale del momento angolare $\vec{L_{co}}$, la sua derivata ci da il momento che deve agire sull'asse per permettere il moto e questo momento, per definizione di derivata di vettore poc'anzi espressa, deve essere:

$\vec{M^(e)}=\vec{\omega}times\vec{L_{co}}$

Credo che basti cosi? O hai ancora qualche dubbio?

[emmerre]

Ti ringrazio per me va bene così sei stato gentilissimo.

[emmerre]

Professokappa scusa se ti disturbo ancora, ma rileggendo l'ultimo post mi sono un pò perso con gli angoli. Per intenderci $ gamma $ è l'angolo che il raggio vettore forma con l'asse di rotazione, con $ Theta $ io avevo indicato l'angolo compreso tra il raggio vettore e la velocità che poi sarebbe di 90°.
Il $ Theta $ che hai usato tu a cosa si riferisce di preciso?

[professorkappa]

$\theta$ e' l'angolo necessario a individuare, sul piano ortogonale all'asse, la posizione della proiezione di $L$ sul piano stesso (avrai capito che quella componente, al contrario di quella parallela all'asse, ruota con velocita' $\omega={d\theta}/{dt}$)