Campo elettrico conservativo.

[Antonio_80]

Nello studio del paragrafo sul campo elettrico, non sono riuscito a decifrare un qualcosa di esplicito che mi dicesse una definizione del fatto che il campo elettrico $E$ è conservativo!
Potreste per favore aiutarmi a capire il perchè un campo elettrico è conservativo?
Come faccio a dimostrarlo?

Vi ringrazio anticipatamente!

[Scotti]

Ciao Antonio,

In generale un campo vettoriale $V$ si dice Conservativo (o Esatto) se è esprimibile come gradiente di una funzione scalare ossia:

$V = grad F(x,y,z) $

Questo tipo di campi fanno parte di una assai ristretta categoria nell'insieme di tutti i campi vettoriali.
La funzione scalare $F(x,y,z)$ relativa al campo $V$ si dice Potenziale del campo.
Una notevole peculiarità di un campo conservativo è che la sua circuitazione (o integrale di linea) su un qualsiasi percorso chiuso è nulla ossia:

$ oint_(C) V*ds =0 $

Questa relazione, per il Teo di Stokes o della circuitazione, può essere anche scritta:

$ oint_(C) V*ds = int int_(S) (grad xx V)*vec(n) dS = 0 $

ossia il flusso del rotore di $V$ è nullo che in forma differenziale diventa:

$ (grad xx V)= 0 $

Tutto ciò significa che l'integrale di linea di un campo conservativo su un qualsiasi percorso dipende solo dai punti di partenza e di arrivo e non dal particolare cammino su cui si calcola l'integrale.
Il potenziale $F(x,y,z)$ ha quindi un differenziale esatto $dF$.
Questo discorso generale calza a pennello per il Campo Elettrico
Questo è quanto.
SSSSC

Bye

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Il campo elettrostatico è conservativo, il campo elettrico, purtroppo, no

[Antonio_80]

Il campo elettrostatico è conservativo, il campo elettrico, purtroppo, no

Adesso mi son confuso le idee!

[Antonio_80]

Che ne dite di una spiegazione del genere? Penso che sia piu' chiaro, da qui in poi si potrebbe passare ad una dimostrazione, cosa ne dite?

Supponiamo di avere un campo generato da una carica puntiforme, esso sarà radiale e scegliamo un percorso che abbia due lati su due raggi e due su archi di curva circolari in modo da tornare nel punto di partenza.
Il lavoro svolto per spostare una carica sugli archi di curva circolare è 0 in quanto sono curve equipotenziali, invece sui raggi il lavoro sarà W=E*∆R dove cosx è 1 e sarà di segno opposto tra avvicinamento e allontanamento. Pertanto in totale il lavoro sarà nullo su una superficie chiusa.
Un altro esempio può essere quello di un condensatore inizialmente scarico che colleghiamo ad un generatore tramite una resistenza. Dopo un certo tempo avremo creato un campo tra le armature del condensatore e lo stesso avrebbe accumulato una energia pari a CV² /2. Quando chiudiamo il circuito procurando la scarica del condensatore dopo un certo tempo avremo di nuovo un campo nulla e riavremo una corrente elettrica che ci restituirà l’energia spesa per caricare il condensatore. Questo deriva dal fatto che abbiamo speso un lavoro per portare cariche da una armatura all’altra e che lo stesso lavoro viene restituito per riportare le cariche nella posizione di partenza.

[Scotti]

Il campo elettrostatico è conservativo, il campo elettrico, purtroppo, no

Ciao

apprezzo la puntualizzazione. La tua affermazione in generale può essere vera ma non è pienamente corretta in quanto la categoria dei campi elettici è assolutamente ben più ampia e comprende l'insieme dei campi elettrostatici.

La caratteristica di irrotazionalità del campo elettrico dipende unicamente dalla presenza o meno di un campo magnetico variabile nel tempo. Ossia

$grad xx vec(E) = -(partial vec(B))/(partial t)$

Bye

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Scusa, Scotti, ma non ho capito perchè la mia affermazione non è "pienamente corretta". Saresti così gentile di rispiegarmelo? Grazie.

[Scotti]

la categoria dei campi elettici è assolutamente ben più ampia e comprende l'insieme dei campi elettrostatici.

La caratteristica di irrotazionalità del campo elettrico dipende unicamente dalla presenza o meno di un campo magnetico variabile nel tempo. Ossia

$grad xx vec(E) = -(partial vec(B))/(partial t)$

Bye

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Speravo in una spiegazione, non in copia-incolla...

Comunque, ribadisco la mia affermazione:

il campo elettrico non è conservativo. Il campo elettrostatico è conservativo.

La questione non è cosa da poco e può creare incomprensioni nei confronti degli studenti, per cui chiedo l'opinione di altri esperti

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Circa la spegazione di Antonio_80, secondo me, perchè non generale, andrebbe bene a livello liceale. A livello universitario occorre invece parlare in termini di teoria dei campi, come ha fatto Scotti.