Densitá di corrente. Dubbio concettuale.

[pollo93]

Buongiorno a tutti ho un grosso dubbio che non riguarda un esercizio in sé, ma un aspetto teorico più generale.
Definiamo la densità di corrente superficiale come quel vettore tale che il suo flusso attraverso una sezione di conduttore sia la corrente che scorre in quel conduttore (cfr. Mencuccini), giusto? Ma se la definizione utilizza i conduttori che fare quando ho degli isolanti? In particolare ho un problema di una sfera isolante con carica totale Q che ruota e mi su chiede la densità di corrente superficiale? Solo che non capisco, non c'è nessun flusso di corrente.
Grazie per le risposte!

[RenzoDF]

Se hai una carica che si muove, anche se "trasportata" da terzi, hai anche una corrente, non credi?

[pollo93]

Certo ma il "flusso" (nel senso vettoriale del termine) dov'è? É la superficie che si muove: non c'è niente che la attraversi

[RenzoDF]

Scusa ma non avevo letto che

... Definiamo la densità di corrente superficiale come quel vettore tale che il suo flusso attraverso una sezione di conduttore sia la corrente che scorre in quel conduttore ...

... quella è una densità volumetrica non superficiale; nel caso della sfera carica si suppone lo spessore sia infinitesimo e attraverso una astrazione matematica andiamo ad usare una densità superficiale Js che si misurerà in A/m e quindi a calcolare la corrente non attraverso un flusso ma attraverso un prodotto scalare fra Js e versore normale n all'elemento infinitesimo di lunghezza dl.

[pollo93]

Oddio ho capito!! Quindi qui non è il flusso, ma il prodotto scalare con un tratto "lineare" dl.
Nella fattispecie dell'esercizio data la carica della sfera e la sua $omega$ abbiamo che $J=di/(2 pi r ) = Q/(2 pi r) omega/(2 pi) $ dove r é il raggio della sezione circolare di sfera (R*sin(t) con t angolo al centro). Giusto?

[RenzoDF]

... scusa ma non ho capito.

[pollo93]

Sí scusami in effetti non si capisce niente.
Sono passato ad un problema vero e proprio. Ho una sup. Sferica avente carica Q che ruota con velocità angolare $omega$ e mi chede la densità di corrente superficiale.
Detto $theta$ l'angolo polare tra l'asse z e il raggio della sfera R si ha che la nostra densità di corrente J($theta$) é quel vettore tale che
$i_{sez}= Q omega/(2 pi)= int J dl = J 2 pi R sin(theta) $ da cui possiamo ricavare j.
Se poi mi chiede anche la corrente totale si ottiene integrando quella roba (noto J) da -pi a pi ovviamente riscrivendo dl come $2 pi R cos(theta ) d theta $

[RenzoDF]

...
$ int J dl = J 2 pi R sin(theta) $ da cui possiamo ricavare j.

Come hai ottenuto questa uguaglianza?

[pollo93]

$ int j dl = int_0^{2pi} j r d phi = int_0^{2pi} j R sintheta d phi = j R sintheta 2 pi$ cioè ho semplicemente integrato sul tratto infinitesimo di circonferenza lungo tutta la circonferenza e ho semplicemente j*2pi r

[RenzoDF]

... continuo a non capire, chi è $\phi$ ?

Se mi fai un disegnetto facciamo prima, no?