Densitá di corrente. Dubbio concettuale.

[pollo93]

Phi é solo l'angolo azimutale della sezione della sfera (in rosso)

[RenzoDF]

... ora ho capito, anche se ci ho messo un po' con quel disegno ... ma allora ti chiedo, come puoi andare a scrivere la seguente uguaglianza

$ int j dl = int_0^{2pi} j r d phi $

se non ho capito male io, 'sta sfera ruota intorno all'asse zeta e di conseguenza il tratto infinitesimo del quale ti parlavo è un

$dl=Rd\theta$

non un

$dl=rd\phi$

e di conseguenza, per ottenere la corrente totale, devi integrare lungo un meridiano, non lungo un parallelo; e lungo un meridiano la densità dipende dalla colatitudine.

[pollo93]

Ottimo! É proprio il punto che non ho capito. Perché $R d theta$? La corrente scorre lungo i paralleli no? L'integrale é una specie di circuitazione no?

[RenzoDF]

Ottimo! É proprio il punto che non ho capito. Perché $R d theta$? La corrente scorre lungo i paralleli no?

Certo, ma il tratto $d\vecl$ da utilizzare per ricavare poi la densità superficiale è normale a $\vecJ_s$, non parallelo.

...L'integrale é una specie di circuitazione no?

In che senso?

Ad ogni modo, giusto per non metterci il pomeriggio, ti dico come farei io: dalla densità di carica superficiale $\rho$ andrei a determinarmi la carica associata alla superficie infinitesima di larghezza $dl=Rd\theta$ e lunghezza $2\pir$, e osserverei che la corrente infinitesima ad essa associata è ottenibile considerando che in un tempo $t=T$ detta carica compirà un giro completo; lasciando indicato dl sarà immediato il passaggio alla densità superficiale.

[pollo93]

Capisco se ti sei stufato ma sono più confuso di prima. Se la corrente scorre lungo i paralleli e il vettore j é sempre parallelo alle linee di corrente, se vado a fare il prodotto scalare tra due vettori ortogonali ottengo sempre 0.
Quindi non capisco perché andiamo a integrare il prodotto scalare tra j (parallelo ai paralleli) e $Rd theta $ (parallelo ai meridiani)

[RenzoDF]

... se vado a fare il prodotto scalare tra due vettori ortogonali ottengo sempre 0.

Prova a rileggere il mio secondo post.

[pollo93]

Ok forse ho capito. Nel dubbio grazie mille !!

[RenzoDF]

Nel dubbio ...

Per precisare quello che dicevo nel secondo post, dove ricordavo che il prodotto scalare è fra il vettore densità di corrente superficiale e la normale al segmento infinitesimo dl,

$di=\vec J_S \cdot \hat n dl$

puoi spiegarti questa relazione partendo da quella reale che determina la corrente infinitesima dal prodotto scalare della densità volumetrica con la normale alla superficie infinitesima

$di=\vec J_V \cdot \hat n dS$

con un passaggio al limite per una delle due dimensioni di dS al fine di far degenerare la superficie in un segmento e la densità volumetrica (ampere per unità di superficie) a quella superficiale (ampere per unità di lunghezza).

Ad ogni modo, chiedi pure, magari non riuscirò a rispondere subito, ma prima o poi lo faccio di certo.

Se poi ti va di postare il tuo risultato sarebbe di certo utile per i lettori del Forum!

[pollo93]

Certo,
Calcoliamo $sigma$ densità superficiale come $ Q/(4piR^2)$
A questo punto la carica della parte di superficie compresa tra due piani che tagliano la sfera é $dq=sigma dl 2 pi r $ dove r é il raggio della sezione della sfera e dipende dall'angolo polare $r= R sin theta $ e dl é in qualche modo l'altezza, ovvero $Rd theta$.
Avendo dq troviamo di moltiplicando per $omega /{ 2pi} $ ovvero il periodo.
Otteniamo allora $di= sigma omega R sin theta dl$ da cui ricaviamo $j= sigma omega R sin theta$
Scrivendo quindi dl come Rdtheta e integrando $di$ da 0 a pi otteniamo come corrente totale $sigma 2 R^2 omega $
Fin.