Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda alessandrof10 » 27/02/2015, 17:45

ciao ragazzi la questione è semplice, dovrei capire da dove esce fuori la direzione della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato. inizio dicendo che in questo moto sia $v(t)=|v|\hat v$ con il modulo e versore non costanti nel tempo quindi l'accelerazione è:

$a=(delv(t))/(delt)=(delv)/(delt) \hat v+v (del\hat v)/(delt)$

poi viene posto che la derivata di un versore rispetto al tempo è uguale alla velocita angolare con direzione normale ovvero

$(del\hat v)/(delt)=\omega \hat n$

adesso da buon matematico ho cercato di capire perche il prof ha scritto questa cosa.In linea di principio ho capito (ditemi se è giusto ) che se prendo due versori della velocità su una traiettoria circolare rispettivamente uno al tempo $t$ e altro al tempo $(t+\Deltat)$ quindi i due versori formano un angolo infinitesimo $\Delta\phi$ che è proporzionale alla distanza tra i due versori(questa distanza è infinitesima ed rappresenta il numeratore del rapporto incrementale per ).

$(del\hat v)/(delt)=lim_(Deltat->0)(\hat v(t+\Deltat)-\hat v(t))/(Deltat)=(\Delta\phi)/(Deltat)=\omega \hat n$


quindi omega(velocità angolare) da come ce scritto sul mio libro è un vettore con direzione opposta al raggio quindi punta verso il centro della circonferenza per intenderci


poi il prof per scrivere meglio l'equazione dell'accelerazione tira fuori dal nulla la formula di poisson in cui la velocita angolare è ortogonale al piano xy cioè ortogonale al vettore velocità... e poi perche la velocità angolare è nella stessa direzione dell asse di rotazione e invece nella formula sopra trattata giace nel piano xy ??
alessandrof10
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Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda navigatore » 27/02/2015, 21:44

Ciao Alessandro.
Ho letto tutto il post, e ho capito che hai un po' di confusione. Vediamo se riesco ad aiutarti.

alessandrof10 ha scritto:ciao ragazzi la questione è semplice, dovrei capire da dove esce fuori la direzione della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato. inizio dicendo che in questo moto sia $v(t)=|v|\hat v$ con il modulo e versore non costanti nel tempo quindi l'accelerazione è:

$a=(delv(t))/(delt)=(delv)/(delt) \hat v+v (del\hat v)/(delt)$


Per cominciare, stai parlando di moto circolare, o su una traiettoria qualsiasi che ad un certo punto non è più rettilinea? Comunque importa poco, concentrati su quello che succede nel punto in cui la traiettoria "fa la curva". In questo punto puoi sempre immaginare di sostituire il cerchio osculatore alla curva, tanto più quanto più piccolo è il $\Deltat$ . (Chiedo scusa ai puristi per come dico le cose, le metto semplici per farmi capire) .

Perchè scrivi le derivate col simbolo di derivata parziale ? Non occorre.

La velocità è un vettore : $ vecv = v*hatv$ , dove $v$ è il modulo e $hatv$ il versore, tangente ala curva nel punto. Sia il modulo che il versore possono variare nel tempo . Quindi derivando rispetto al tempo si ha :

$ veca = (dvecv)/(dt) = (dv)/(dt)hatv + v(dhatv)/(dt)$

Il primo termine al 2° membro ti dice che , fermo restando il versore $hatv$ , può cambiare il modulo $v$ del vettore nel tempo. Questo termine definisce quindi il componente tangenziale della $veca$ .

poi viene posto che la derivata di un versore rispetto al tempo è uguale alla velocita angolare con direzione normale ovvero

$(del\hat v)/(delt)=\omega \hat n$

adesso da buon matematico ho cercato di capire perche il prof ha scritto questa cosa.In linea di principio ho capito (ditemi se è giusto ) che se prendo due versori della velocità su una traiettoria circolare rispettivamente uno al tempo $t$ e altro al tempo $(t+\Deltat)$ quindi i due versori formano un angolo infinitesimo $\Delta\phi$ che è proporzionale alla distanza tra i due versori(questa distanza è infinitesima ed rappresenta il numeratore del rapporto incrementale per ).

$(del\hat v)/(delt)=lim_(Deltat->0)(\hat v(t+\Deltat)-\hat v(t))/(Deltat)=(\Delta\phi)/(Deltat)=\omega \hat n$

quindi omega(velocità angolare) da come ce scritto sul mio libro è un vettore con direzione opposta al raggio quindi punta verso il centro della circonferenza per intenderci


Questo è giusto, ma con qualche piccola limatina . Devi supporre che hai tracciato i due versori , quello all'istante $t$ e quello all'istante $t + dt$ , da uno stesso punto : il secondo è ruotato, rispetto al primo, attorno al punto comune . Come è ruotato? Verso l'interno della curva, perché in effetti deve mantenersi sempre tangente alla curva, giusto? Fa' un disegnino a parte, e te ne accorgi.
E con quale velocità angolare puoi immaginare che ruoti questo versore? Evidentemente con la stessa velocità angolare con cui "gira" il punto che descrive la curva (sto usando un linguaggio elementare e volutamente impreciso) . Cioè, tenendo ferma la "coda" del versore, la sua punta è ruotata verso l'interno di $\omega*l$ , dove $l$ è la lunghezza del versore .

MA un versore ha lunghezza unitaria !!! Quindi : $\omega*1 = \omega$ , no ?

Hai fatto il disegnino a parte ? Ora hai tre vettori : i due versori che ti ho detto, nei due istanti di tempo intervallati di $dt$ , e il loro lato di chiusura, che vale $\omega$ . Questo lato di chiusura è orientato come il versore $hatn$ normale alla curva in $P$, e perciò in definitiva puoi dire che :

$(dhatv)/(dt) = \omega*hatn = v/r*hatn$

Allora, se vai a sostituire nel secondo termine a secondo membro della accelerazione , hai quella che si chiama accelerazione normale o centripeta, diretta lungo la normale alla curva, verso il centro :

$veca_c = v^2/rhatn$

In definitiva : $veca = (dv)/(dt)hatv + v^2/rhatn$

poi il prof per scrivere meglio l'equazione dell'accelerazione tira fuori dal nulla la formula di poisson in cui la velocita angolare è ortogonale al piano xy cioè ortogonale al vettore velocità... e poi perche la velocità angolare è nella stessa direzione dell asse di rotazione e invece nella formula sopra trattata giace nel piano xy ??


Ti ho spiegato perché compare $\omega$ , non viene fuori dal nulla.

La formula di Poisson dice che : $(dhati)/(dt) = vec\omegaxxhati$ ( e analoghe).

Perchè? Perché in un moto circolare uniforme la velocità tangenziale vettoriale è data da:

$vecv = (dvecr)/(dt)= vec\omegaxxvecr$ .

Cioè, disponendo $vec\omega$ sull'asse perpendicolare al piano del moto, la velocità $vecv$ è il prodotto vettoriale di $vec\omega$ con il raggio vettore $vecr$ .

In questa vecchia e lunga discussione avevo messo dei disegni. Guarda quelli, lascia perdere le chiacchiere.

Spero sia chiaro.
navigatore
 

Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda alessandrof10 » 28/02/2015, 00:10

navigatore ha scritto:Ciao Alessandro.
Ho letto tutto il post, e ho capito che hai un po' di confusione. Vediamo se riesco ad aiutarti.

alessandrof10 ha scritto:ciao ragazzi la questione è semplice, dovrei capire da dove esce fuori la direzione della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato. inizio dicendo che in questo moto sia $v(t)=|v|\hat v$ con il modulo e versore non costanti nel tempo quindi l'accelerazione è:

$a=(delv(t))/(delt)=(delv)/(delt) \hat v+v (del\hat v)/(delt)$


Per cominciare, stai parlando di moto circolare, o su una traiettoria qualsiasi che ad un certo punto non è più rettilinea? Comunque importa poco, concentrati su quello che succede nel punto in cui la traiettoria "fa la curva". In questo punto puoi sempre immaginare di sostituire il cerchio osculatore alla curva, tanto più quanto più piccolo è il $\Deltat$ . (Chiedo scusa ai puristi per come dico le cose, le metto semplici per farmi capire) .

Perchè scrivi le derivate col simbolo di derivata parziale ? Non occorre.

La velocità è un vettore : $ vecv = v*hatv$ , dove $v$ è il modulo e $hatv$ il versore, tangente ala curva nel punto. Sia il modulo che il versore possono variare nel tempo . Quindi derivando rispetto al tempo si ha :

$ veca = (dvecv)/(dt) = (dv)/(dt)hatv + v(dhatv)/(dt)$

Il primo termine al 2° membro ti dice che , fermo restando il versore $hatv$ , può cambiare il modulo $v$ del vettore nel tempo. Questo termine definisce quindi il componente tangenziale della $veca$ .

poi viene posto che la derivata di un versore rispetto al tempo è uguale alla velocita angolare con direzione normale ovvero

$(del\hat v)/(delt)=\omega \hat n$

adesso da buon matematico ho cercato di capire perche il prof ha scritto questa cosa.In linea di principio ho capito (ditemi se è giusto ) che se prendo due versori della velocità su una traiettoria circolare rispettivamente uno al tempo $t$ e altro al tempo $(t+\Deltat)$ quindi i due versori formano un angolo infinitesimo $\Delta\phi$ che è proporzionale alla distanza tra i due versori(questa distanza è infinitesima ed rappresenta il numeratore del rapporto incrementale per ).

$(del\hat v)/(delt)=lim_(Deltat->0)(\hat v(t+\Deltat)-\hat v(t))/(Deltat)=(\Delta\phi)/(Deltat)=\omega \hat n$

quindi omega(velocità angolare) da come ce scritto sul mio libro è un vettore con direzione opposta al raggio quindi punta verso il centro della circonferenza per intenderci


Questo è giusto, ma con qualche piccola limatina . Devi supporre che hai tracciato i due versori , quello all'istante $t$ e quello all'istante $t + dt$ , da uno stesso punto : il secondo è ruotato, rispetto al primo, attorno al punto comune . Come è ruotato? Verso l'interno della curva, perché in effetti deve mantenersi sempre tangente alla curva, giusto? Fa' un disegnino a parte, e te ne accorgi.
E con quale velocità angolare puoi immaginare che ruoti questo versore? Evidentemente con la stessa velocità angolare con cui "gira" il punto che descrive la curva (sto usando un linguaggio elementare e volutamente impreciso) . Cioè, tenendo ferma la "coda" del versore, la sua punta è ruotata verso l'interno di $\omega*l$ , dove $l$ è la lunghezza del versore .

MA un versore ha lunghezza unitaria !!! Quindi : $\omega*1 = \omega$ , no ?

Hai fatto il disegnino a parte ? Ora hai tre vettori : i due versori che ti ho detto, nei due istanti di tempo intervallati di $dt$ , e il loro lato di chiusura, che vale $\omega$ . Questo lato di chiusura è orientato come il versore $hatn$ normale alla curva in $P$, e perciò in definitiva puoi dire che :

$(dhatv)/(dt) = \omega*hatn = v/r*hatn$

Allora, se vai a sostituire nel secondo termine a secondo membro della accelerazione , hai quella che si chiama accelerazione normale o centripeta, diretta lungo la normale alla curva, verso il centro :

$veca_c = v^2/rhatn$

In definitiva : $veca = (dv)/(dt)hatv + v^2/rhatn$

poi il prof per scrivere meglio l'equazione dell'accelerazione tira fuori dal nulla la formula di poisson in cui la velocita angolare è ortogonale al piano xy cioè ortogonale al vettore velocità... e poi perche la velocità angolare è nella stessa direzione dell asse di rotazione e invece nella formula sopra trattata giace nel piano xy ??




fino qui tutto giusto e comprensibile quindi ricapitolando noi abbiamo un vettore omega chiamato velocità angolare giacente nel piano del moto con direzione normale ( verso il centro della circonferenza)e questo termine è chiamato accelerazione centripeta.

poi tu mi dici che in realtà la velocità angolare è un vettore che è ortogonale al piano e punta verso l' alto (nel senso che se il moto avviene su un foglio ,il vettore omega buca perpendicolarmente il foglio, detto in parole povere per intenderci)

adesso la domanda è semplice quale direzione ha omega ?? cioè stiamo parlando della stessa velocita angolare che ha due direzioni differenti spero che adesso ho chiarito la mia domanda
alessandrof10
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Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda navigatore » 28/02/2015, 06:17

fino qui tutto giusto e comprensibile quindi ricapitolando noi abbiamo un vettore omega chiamato velocità angolare giacente nel piano del moto con direzione normale ( verso il centro della circonferenza)e questo termine è chiamato accelerazione centripeta.

eccetera eccetera…..


No, allora non è tutto chiaro e comprensibile.
Non confondere il vettore $vec\omega$ con il suo modulo $\omega$ , che è uno scalare !

Il vettore $vec\omega$ non giace nel piano del moto. Il vettore $vec\omega$ è perpendicolare al piano del moto. Limitiamoci al moto circolare uniforme.
Hai studiato bene il calcolo vettoriale ? Forse qui hai qualche buca….Devi fare così, devi mettere :

1) $vec\omega $ sull'asse di rotazione, che taglia il piano della circonferenza nel centro $O$
2) $vecr$ sul piano del moto, che va da $O$ al punto $P$ in moto circolare (in realtà l'origine di $vecr$ si può prendere in un punto qualunque dell'asse, non solo in $O$ , ma lascio da parte questa sottigliezza)

3) fa' il prodotto vettoriale dei due , e ottieni : $vecv = vec\omegaxxvecr$ , che si trova sul piano del moto ed è perpendicolare a entrambi.

4) L'accelerazione centripeta (se il moto circolare è uniforme questa è l'unica accelerazione presente ) è data da :

$veca = (dvecv)/(dt) = vec\omegaxxvecv = vec\omegaxx(vec\omegaxxvecr) = - \omega^2vecr = - v^2/r^2*vecr = -v^2/r*hatr$

ed è diretta da P verso O . Ecco perché c'è il segno negativo alla fine , infatti $hatr$ è orientato da O verso P .

Hai guardato questo disegno ?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


Il fatto che :

$ (dvecv)/(dt) = vec\omegaxxvecv $

è del tutto generale , vale se al posto di $vecv$ metti qualunque vettore di modulo costante, che ruota con velocità angolare costante $vec\omega$ ; se ci metti $vecr$ al posto di $vecv$ , che ottieni? Se ci metti un versore $hati$ ottieni la formuletta di Poisson :

$ (dhati)/(dt) = vec\omegaxxhati $
navigatore
 

Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda alessandrof10 » 28/02/2015, 11:49

allora prima vorrei ringraziarti per le risposte... poi ovviamento so la differenza tra $\omega$ scalare e $\omega$ vettore però nella formula dell'accelerazione viene considerato il vettore perche cè scritto esplicitamente

$\vec omega=|\omega| \hat n$

modulo e verso con direzione centripeta quindi o sono io che so stupido oppure non ho capito nulla dell' analisi vettoriale

aldilà delle parole mi sono messo su un foglio a ragionare vettore per vettore quindi ti scrivo tutto il ragionamento fatto da me:

allora prendo un sistema di rif a 3 direzioni, considero una circonferenza traccio il raggio dall'orgine ad un punto generico $P$ ,poi disegno tangenzialmente alla traiettoria circolare il vettore velocità e in fine disegno all'accelerazione puntata in P e diretta verso origine

dal prodotto vettoriale posso scrivere che :

$\vec a=\vec omega xx \vec v$ essendo tutte e 3 vettori ortogonali tra loro
$\vec v=\vec omega xx \vec r$ stessa conclusione per la loro ortogonalità

il mio problema è quello di scivere l'accelerazione in funzione del raggio

$\vec a=\vec omega xx(\vec omega xx \vec r)=- omega^2 \vec r =-r omega^2 \hat r$


poi considerando il moto circolare accelerato

l'accelerazione è composta da due componenti come da te citati sopra per non ripetere le cose passo direttamente al considerare la velocità centripeta

quindi prendo la circonferenza unitaria disegnata su un s.d.r tridimensionale considero il raggio dal centro a un punto $P$ su la traiettoria e disegno tangenzialmente il versore $\hat v$ ( per definizione è costante in modulo ma non in direzione e verso) che moltiplica lo scalare $v$ invece se analizzo matematicamente la derivata di un versore capisco che è uguale
$(del \hat v)/(delt)=hat n$
direi che è abbastanza intuitiva come cosa no ?!?! la derivata di un versore è un versore perpendicolare ad esso

$\vec a_(c)=v(del \hat v)/(delt)=v \hat n =omega r \hat n $

quest ultima espressione è sbagliata ovviamente ma vorrei capire perche è sbagliata.. ovvero la derivata di un versore per me è un versore di modulo unitario come da definizione... invece per il resto del mondo la derivata di un versore è un versore che moltiplica un modulo( $omega$) in termini matematici da dove lo tiro fuori questo modulo, qualè esigenza di scrivere anche il modulo di un versore se so che il modulo è costante e vale 1 ??

scusami se sono cosi esigente con queste domande ma sono dell' idea che per spiegare ad un bambino una cosa devi capirla come un bambino anche se gli argomenti in questione sono molto ma molto complicati
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Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda alessandrof10 » 28/02/2015, 12:26

Navigatore ti ringrazio della pazienza ma forse ho capito la spiegazione su questo sito http://bellia.ct.infn.it/bellia/www/biologia/Physics-main/appunti/04-accel_moto_circolare.pdf

il mio errore sai qual'era ?? che quando consideravo il triangolo isoscele formato dai due lati che erano versori unitari la mia testa mi diceva che la base di quel triangolo era unitaria non considerando il teorema di pitagora come uno sprovveduto :lol:
quindi la nostra lunghezza di $Delta \hat v$ è incognita per ricavarla basta pensare che è proporzionale a $Delta phi$... per $Delta t->0$ abbiamo che il versore diventa perpendicolare e il modulo vale proprio $omega$ giusto ??
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Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda navigatore » 28/02/2015, 13:53

alessandrof10 ha scritto:allora prima vorrei ringraziarti per le risposte... poi ovviamento so la differenza tra $\omega$ scalare e $\omega$ vettore però nella formula dell'accelerazione viene considerato il vettore perche cè scritto esplicitamente

$\vec omega=|\omega| \hat n$

modulo e verso con direzione centripeta quindi o sono io che so stupido oppure non ho capito nulla dell' analisi vettoriale


non sei stupido, ma questa formula è sicuramente sbagliata, forse l'hai copiata male mentre il prof scriveva alla lavagna, se con $\hatn$ intendi il versore normale alla curva, che giace nel piano del moto. Probabilmente il prof avrà scritto :

$\vec omega=|\omega| \hat k$

dove $hatk$ è il versore dell'asse $z$ perpendicolare al piano $xy$ del moto.



…...
allora prendo un sistema di rif a 3 direzioni, considero una circonferenza traccio il raggio dall'orgine ad un punto generico $P$ ,poi disegno tangenzialmente alla traiettoria circolare il vettore velocità e in fine disegno all'accelerazione puntata in P e diretta verso origine

dal prodotto vettoriale posso scrivere che :

$\vec a=\vec omega xx \vec v$ essendo tutte e 3 vettori ortogonali tra loro
$\vec v=\vec omega xx \vec r$ stessa conclusione per la loro ortogonalità

il mio problema è quello di scivere l'accelerazione in funzione del raggio

$\vec a=\vec omega xx(\vec omega xx \vec r)=- omega^2 \vec r =-r omega^2 \hat r$


se questo è il tuo problema , sappi che , dati tre vettori qualunque , $veca , vecb, vecc$ , il doppio prodotto vettoriale è dato da :

$vecaxx(vecbxxvecc) = vecb(veca*vecc) - vecc (veca*vecb) $ ( questa si chiama anche "regola bac - cab" . Applicala nel tuo caso e dimmi che cosa ottieni) .

poi considerando il moto circolare accelerato

l'accelerazione è composta da due componenti come da te citati sopra per non ripetere le cose passo direttamente al considerare la velocità centripeta (nb : accelerazione)

quindi prendo la circonferenza unitaria disegnata su un s.d.r tridimensionale considero il raggio dal centro a un punto $P$ su la traiettoria e disegno tangenzialmente il versore $\hat v$ ( per definizione è costante in modulo ma non in direzione e verso) che moltiplica lo scalare $v$ invece se analizzo matematicamente la derivata di un versore capisco che è uguale
$(del \hat v)/(delt)=hat n$
direi che è abbastanza intuitiva come cosa no ?!?! la derivata di un versore è un versore perpendicolare ad esso

$\vec a_(c)=v(del \hat v)/(delt)=v \hat n =omega r \hat n $

quest ultima espressione è sbagliata ovviamente ma vorrei capire perche è sbagliata.. ovvero la derivata di un versore per me è un versore di modulo unitario come da definizione... invece per il resto del mondo la derivata di un versore è un versore che moltiplica un modulo( $omega$) in termini matematici da dove lo tiro fuori questo modulo, qualè esigenza di scrivere anche il modulo di un versore se so che il modulo è costante e vale 1 ??


Sbagli nel credere che il modulo del derivato di un versore è unitario ! TE l'ho detto, vale $\omega*1 $ ! E infatti ti sei redento nel post successivo !

scusami se sono cosi esigente con queste domande ma sono dell' idea che per spiegare ad un bambino una cosa devi capirla come un bambino anche se gli argomenti in questione sono molto ma molto complicati


Ma no, poi ci fai l'abitudine e le impari come le tabelline.

alessandrof10 ha scritto:Navigatore ti ringrazio della pazienza ma forse ho capito la spiegazione su questo sito …….

il mio errore sai qual'era ?? che quando consideravo il triangolo isoscele formato dai due lati che erano versori unitari la mia testa mi diceva che la base di quel triangolo era unitaria non considerando il teorema di pitagora come uno sprovveduto :lol:
quindi la nostra lunghezza di $ Delta \hat v $ è incognita per ricavarla basta pensare che è proporzionale a $ Delta phi $... per $ Delta t->0 $ abbiamo che il versore diventa perpendicolare e il modulo vale proprio $ omega $ giusto ??


Infatti la base del triangolino isoscele non è unitaria, come hai compreso.
L'essenziale è questo.
navigatore
 

Re: Formula Poisson e moto circolare unif. accelerato

Messaggioda alessandrof10 » 28/02/2015, 15:11

grazie navigatore comunque la regola del doppio prodotto la conosco.. ma nel precedente post ho omesso il primo termine in quanto vi è il prodotto scalare tra la velocità angolare e il raggio e visto che sono ortogonali il loro prodotto scalare è nullo quindi per semplificare la notazione non l ho scritto.comunque con questa discussione ho capito tante cose... riguardo al vettore velocità angolare sicuramente ho scritto male io ti ringrazio molto della spiegazione
alessandrof10
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