[FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda jitter » 28/02/2015, 19:55

EDIT: mi hanno indicato una bella lezione videoregistrata in un altro thread, quindi provo con quella. Non elimino, però, il post: lo riapro se non capisco il video.

Nell'applicazione delle equazioni differenziali al caso dell'oscillatore immerso in un fluido viscoso, ho che l'equazione che descrive la posizione del punto attaccato alla molla è:

$my'' = - ky' - hy$

dove $-ky'$ è la forza esercitata dal fluido (quindi proporzionale alla velocità) e $-hy$ è quella della molla. Prima domanda (di base) sulle molle: il fatto che h è negativa sottintende che la molla viene allungata, quindi che tira all'indietro il punto? Se venisse compressa, il punto verrebbe spinto nel verso positivo, quindi k sarebbe positiva, giusto?).

Poi ricava le soluzioni dell'equazione, e questa parte mi è chiara.
L'integrale generale è:
1) nel caso sottosmorzamento, in cui l'equazione caratteristica ha radici complesse coniugate: $ae^(-zwt)(cos wt + b)$. Non sto a scrivere che cosa sono i vari parametri perché non è quello il problema.
La domanda è: il fatto che c'è un coseno significa che il moto è oscillatorio?

2) nel caso sovrasmorzamento: nel caso delle soluzioni reali non ho una funzione seno (o coseno) nell'integrale generale: significa che il punto si ferma senza oscillare (come sopra: perché non c'è coseno, giusto?)

3) nel caso smorzamento critico.. Ecco, qui non ho capito un accidenti, quindi non chiedo spiegazioni particolari. Se però avete un buon link, semplice, sarebbe apprezzatissimo.

Grazie!
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Re: [FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda navigatore » 28/02/2015, 21:39

Una molla che cosa è ? Un oggetto meccanico (ce ne sono un po' dappertutto, pure nel motore della tua automobile) che accumula energia meccanica quando la tiri o quando la comprimi, e la restituisce dopo. Se la molla è ideale, non c'è dissipazione di energia in questi allungamenti o accorciamenti, In realtà, se prendi una molla vera, la tiri e poi la comprimi varie volte, alla fine vedrai che si è riscaldata. Ma lasciamo stare,parliamo di una molla ideale.

Quando la tiri , quella si oppone ad essere tirata, con una forza che quindi è diretta in verso contrario allo spostamento $x$ , e proporzionale in valore allo stesso $x$. Ecco perché la forza con cui la molla agisce su chi la tira si scrive col segno "meno" : la forza elastica esercitata dalla molla si scrive infatti : $F_e = -hx$ ( ho messo "h" per uniformarmi a te ) .
Ma anche se la comprimi, quella si oppone alla compressione ! Per cui la forza elastica esercitata dalla molla si scrive sempre come $-hx$ . Chiaro il discorso?

Perciò, la 2° equazione della Dinamica $ma = F$ si scrive, se l'unica forza agente sulla massa $m$ (pensa ad esempio ad un blocchetto poggiato su un piano orizzontale senza attrito, che tusposti dalla posizione di equilibrio tirandolo , e poi lo lasci andare ) :

$mddotx = -hx$ , da cui : $mddotx + hx = 0 $ .

E questa è l'equazione di un moto armonico, del tipo : $ddotx + \omega^2x = 0 $ . Basta infatti porre : $\omega^2 = h/m$ , e il gioco è fatto. La pulsazione del moto armonico è quindi data da : $\omega = sqrt(h/m)$ .

Questa equazione differenziale tu sai risolverla meglio di me, e vengono fuori i seni e i coseni che sai. Ogni volta che puoi arrivare ad una equazione differenziale del tipo di quella detta , puoi dire di essere in presenza di un moto armonico.

[A proposito, non dire che $h$ è negativa! LA costante elastica di una molla non è negativa! Non è da te, guarda bene , è scritto " -h" ! Il segno "meno" non è incorporato in $h$ ! Il segno meno dipende dal discorso che ho fatto, sulla forza elastica che si oppone allo spostamento in ogni caso, sia in allungamento che in accorciamento]

SE poi c'è anche una ulteriore forza resistente , di tipo viscoso, che si suppone dipenda dalla velocità della massa $m$ , l'equazione si complica ma non tanto . Diventa appunto :

$mddotx = -kdotx -hx $

Anche qui, il segno "meno" in $-kdotx$ deriva dal fatto che la forza resistente viscosa si oppone allo spostamento.

E qui si complica un po' la soluzione. Si hanno i vari casi che dici tu, di moto armonico smorzato, e la presenza di funzioni periodiche nella soluzione, quando ci sono (dipende , se non ricordo male, dal discriminante della equazione algebrica associata, qui tu sei più brava di me ….) ti dice che il moto è comunque periodico, ma l'ampiezza va decrescendo. Addirittura il moto può essere appunto anche aperiodico …se lo smorzamento è troppo alto…


SE trovo un link semplice te lo metto, ma dammi i tempo di cercarlo.
navigatore
 

Re: [FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda jitter » 28/02/2015, 22:18

Ciao Navigatore e grazie che hai dedicato del tempo a darmi una risposta così completa :D

navigatore ha scritto: Quando la tiri , quella si oppone ad essere tirata, con una forza che quindi è diretta in verso contrario allo spostamento $x$ , e proporzionale in valore allo stesso $x$. Ecco perché la forza con cui la molla agisce su chi la tira si scrive col segno "meno" : la forza elastica esercitata dalla molla si scrive infatti : $F_e = -hx$ ( ho messo "h" per uniformarmi a te ) .
Ma anche se la comprimi, quella si oppone alla compressione ! Per cui la forza elastica esercitata dalla molla si scrive sempre come $-hx$ . Chiaro il discorso?

Comincio a capire ma non sono ancora sicura: in pratica, la forza esercitata dalla molla (quindi il suo segno) si riferisce alla mia mano che la tira o che la comprime e non al punto sul quale la molla agisce? Cioè, se la molla fosse già compressa, o già allungata, il fatto che tira o "lancia" il punto attaccato alla molla, facendolo accelerare da una parte oppure dall'altra, non c'entra col segno di $h$? Non riesco però a conciliarlo col fatto che, in $F = - hy$, la $y$ è lo spostamento del punto e non del corpo che agisce sulla molla... Scusa la testardaggine su questo fatto, ricordo che anche a scuola mi era ostico.

navigatore ha scritto:perciò, la 2° equazione della Dinamica ma=F si scrive, se l'unica forza agente sulla massa m (pensa ad esempio ad un blocchetto poggiato su un piano orizzontale senza attrito, che tusposti dalla posizione di equilibrio tirandolo , e poi lo lasci andare ) :

mx..=−hx , da cui : mx..+hx=0 .

E questa è l'equazione di un moto armonico, del tipo : x..+ω2x=0 . Basta infatti porre : ω2=hm , e il gioco è fatto. La pulsazione del moto armonico è quindi data da : ω=hm−−−√ .


Qui tutto chiaro :)

A proposito, non dire che $h$ è negativa! LA costante elastica di una molla non è negativa!]

Hai ragionissima! mi son distratta

E qui si complica un po' la soluzione. Si hanno i vari casi che dici tu, di moto armonico smorzato, e la presenza di funzioni periodiche nella soluzione, quando ci sono (dipende , se non ricordo male, dal discriminante della equazione algebrica associata

Sulla questione delle funzioni periodiche nel caso del sottosmorzamento, riporto la funzione risultante:

$a e^(-zw_0t) cos(wt + b)$

Per "colpa" di quella $t$ all'esponente di $e$, la funzione non mi pare periodica, ma forse mi sfugge qualcosa o non è il caso a cui ti riferisci

Addirittura il moto può essere appunto anche aperiodico …se lo smorzamento è troppo alto…

Ah, forse ho capito: aperiodico nel senso che non contiene più la funzione (periodica) coseno dentro l'integrale generale, che preso "tutto insieme" non è tuttavia periodico...

SE trovo un link semplice te lo metto, ma dammi i tempo di cercarlo.

Gentilissimo!
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Re: [FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda navigatore » 28/02/2015, 23:14

jitter ha scritto:…………...
Comincio a capire ma non sono ancora sicura: in pratica, la forza esercitata dalla molla (quindi il suo segno) si riferisce alla mia mano che la tira o che la comprime e non al punto sul quale la molla agisce? Cioè, se la molla fosse già compressa, o già allungata, il fatto che tira o "lancia" il punto attaccato alla molla, facendolo accelerare da una parte oppure dall'altra, non c'entra col segno di $h$? Non riesco però a conciliarlo col fatto che, in $F = - hy$, la $y$ è lo spostamento del punto e non del corpo che agisce sulla molla... Scusa la testardaggine su questo fatto, ricordo che anche a scuola mi era ostico.


Faccio un esempio, forse è più chiaro. Considera un blocchetto di massa $m$ , posto su un piano orizzontale liscio (così ci liberiamo della gravità) . Il blocchetto è collegato a sinistra ad una molla, di costante elastica $h$ . La molla a sua volta è collegata a sinistra ad una parete fissa. La costante elastica, che si misura in $N/m$ , dice che per allungare di $1 m$ la molla ci vogliono $h$ N .
Adesso sposta il blocchetto verso destra, con la tua mano, di un tratto $x$ . Tu tiri la molla, la allunghi. E la molla per reazione tira la tua mano verso sinistra. Come vedi , lo spostamento $x$ dato da te al blocchetto e la forza resistente della molla sono in versi opposti. Ora lascia libero il blocchetto : la forza elastica $F_e = -hx$ richiama il blocchetto verso sinistra. L'equazione del moto si scrive dunque : $ma = F_e = -hx$ . Cioè :

$mddotx + hx = 0 $

non capisco la differenza che fai tra "punto" e "corpo" su cui agisce la forza. Quando hai lasciato andare il blocchetto, non c'è più alcuna azione esterna sulla molla, anzi è lei che fa tutto il lavoro di "tira e molla" (non per nulla si chiama "molla" ) sul blocchetto.



Sulla questione delle funzioni periodiche nel caso del sottosmorzamento, riporto la funzione risultante:

$a e^(-zw_0t) cos(wt + b)$

Per "colpa" di quella $t$ all'esponente di $e$, la funzione non mi pare periodica, ma forse mi sfugge qualcosa o non è il caso a cui ti riferisci


Per colpa di quel $t$ nell'esponente di $e$ , l'ampiezza dell'oscillazione $Ae^(-zw_0t)$ diminuisce esponenzialmente col tempo, ma la periodicità della funzione la vedi dal fatto che c'è sempre il $cos ( wt + b) $ , no ?


Ah, forse ho capito: aperiodico nel senso che non contiene più la funzione (periodica) coseno dentro l'integrale generale, che preso "tutto insieme" non è tuttavia periodico…


Si, detto in parole povere è così . Lo smorzamento è così importante che l'oscillazione non riesce ad innescarsi…diciamo così , in maniera semplice.

SE trovo un link semplice te lo metto, ma dammi i tempo di cercarlo.

Gentilissimo!


Questi due link sono i più semplici, mi sembra. Comunque se cerchi sul web "moto armonico smorzato" trovi un sacco di roba. Io ho preso i link facendo così.

http://www.pd.infn.it/~ugs/didattica/in ... -smorz.pdf

http://www.df.unipi.it/~andreozz/notes/smorzate.pdf
navigatore
 

Re: [FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda jitter » 28/02/2015, 23:54

Sì, ora mi pare chiara la faccenda della molla! Forse a confondermi era il fatto che consideravo solo il verso in cui si muoveva il punto (a destra oppure a sinistra) e non il fatto che la forza esercitata e la direzione del moto impressa al blocchetto sono sempre opposti.

navigatore ha scritto:Per colpa di quel t nell'esponente di e , l'ampiezza dell'oscillazione Ae−zw0t diminuisce esponenzialmente col tempo

Bene, adesso ho capito meglio anche il motivo per cui l'ampiezza diminuisce :D

navigatore ha scritto: ma la periodicità della funzione la vedi dal fatto che c'è sempre il cos(wt+b) , no ?


la definizione che conosco io di periodicità è $f(x + T) = f(x)$, quindi la funzione - negli esempi che avevo visto io, non in fisica - andava considerata tutta, non solo un suo fattore componente. Quindi avrei detto che
$ a e^(-zw_0(t+T)) cos(w(t+T) + b) != a e^(-zw_0(t)) cos(wt + b)$,
quindi non periodica. Per periodica io intendevo una funzione che assume gli stessi valori a intervalli regolari.

navigatore ha scritto:Lo smorzamento è così importante che l'oscillazione non riesce ad innescarsi…diciamo così , in maniera semplice.

Qui ci sono!

Grazie per i link e per le ulteriori delucidazioni! Ora son cotta ma domani me li guardo con calma.
Ciao!
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Re: [FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda navigatore » 01/03/2015, 00:48

Credo sia necessaria una precisazione sulla questione dei versi di accelerazione (e quindi della forza esercitata dalla molla) e spostamento : bisogna considerare il moto riferendolo al centro dell'oscillazione, cioè alla posizione di equilibrio iniziale, e quando agisce appunto la molla sul blocchetto, in condizioni di regime (non la mano che dà il primo spostamento!) .

L'accelerazione ( e quindi la forza ) considerata come vettore , è diretta sempre verso il centro, e il suo valore è massimo quando la velocità è nulla, cioè quando il blocchetto arriva ai punti estremi e inverte il moto. È invece nulla quando il blocchetto passa per il centro e la velocità è massima. Passato il centro, il modulo dell'accelerazione aumenta da zero, ed essendo diretta verso tale centro (quindi opposta allo spostamento) in realtà "frena" il blocco diminuendone la velocità, fino ad azzerarla agli estremi.
Insomma, nell'esempio del blocchetto sul piano orizzontale, quando lo spostamento verso destra rispetto al centro cresce in modulo, la forza e quindi l'accelerazione cresce in modulo ma è diretta verso sinistra . E viceversa.
navigatore
 

Re: [FERMI TUTTI] oscillatore con resistenza: smorzamenti vari

Messaggioda jitter » 01/03/2015, 08:12

Ora è tutto chiaro! Grazie di tutto e buona domenica :D
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