Io direi semplicemente che, essendo l'energia di riposo uguale a : $E_0 = mc^2$ , ed essendo l'energia relativistica uguale a $E = \gammamc^2$ , si ha :
$E-E_0 = (\gamma -1)mc^2$
e che l'energia somministrata all'elettrone è proprio la quantità al primo membro , che puoi calcolare sapendo la differenza di potenziale $\DeltaV$ e la massa $m$ dell'elettrone .
Tieni presente che : $1eV = 1.6*10^(-19)C* 1V = 1.6*10^(-19) J $
Se la carica elettrica non è quella dell'elettrone $1.6*10^(-19)C$ , ci devi mettere la carica $q$ assegnata, per esprimere la massa in $(MeV)/c^2$ come si solito si fa :
http://it.wikipedia.org/wiki/Elettronvolt(la massa dell'elettrone è circa $0.511(MeV)/c^2$ )
Nota che , dalla relazione : $K = mc^2 (1/sqrt(1-(v/c)^2) -1) $
potresti ottenere direttamente che : $v^2 = c^2(1-(mc^2)^2/(K + mc^2)^2 )$