[ELETTROSTATICA] - Campo Elettrico

[Black Magic]

Ciao a tutti, chiedo conferme su come ho fatto il seguente esercizio.

Si ha una distribuzione volumica di carica $\rho(x) =\frac{ \rho_0}{a}*x$ con centro in $x=0$ e compresa tra i piani $x=-a $ e $x=a$.

Calcolare il campo elettrico $\vec{E}$ e il potenziale $V$.

Il problema può essere risolto in due modi distinti: con il Teorema di Gauss (o della Divergenza) oppure sfruttando il Principio di Sovrapposizione.
avvalendosi di quest'ultimo, possiamo considerare il sistema fisico composto da infiniti piani con densità superficiale di carica :

$\sigma(x) = \rho(x)dx = \frac{ \rho_0}{a}*xdx$,

sicché il campo elettrico in un generico punto dello spazio con ascissa $x>a || x<-a$ (1) è dato dalla somma di tutti i campi elettrici dovuti agli infiniti strati piani di carica. Quindi:

$$ E = \int_{-a}^a \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx = 0$$

Come era ovvio che fosse.
Infatti, sfruttando il Teorema di Gauss, avremmo potuto calcolare il campo elettrico in ogni punto per cui valga la (1) uguagliando il flusso di $\vec{E}$ attraverso un cilindro qualsiasi (con asse parallelo all'asse x per semplificare le cose) alla carica totale ivi contenuta. Ma questa è banalmente zero (l'integrale di una funzione dispari è nullo calcolato in punti simmetrici all'origine!)

Come varia il campo elettrico per $-a<x<a$?

Prendiamo un punto $x_1$ a destra dell'origine: esso risentirà della forza dovuto al campo elettrico con densità negativa, con verso negativo rispetto all'asse x, del campo elettrico dovuto alla carica in $0<x<x_1$, con verso positivo e infine della rimanente carica che genera un campo elettrico che nel punto considerato ha verso negativo.

Si ha:

$\int_{-a}^0 \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx + \int_{0}^{x_1} \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx - \int_{x_1}^a \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx $

Il cui risultato è $\frac{2\pi\rho_0}{a}(x_1^2 - a^2).$

In particolare, in $x=0$ il campo elettrico ha modulo $-2\pi\rho_0*a$.


PS

Sono un po' di ''fretta'', poi posto la parte rimanente dell'esercizio per quanto riguarda il potenziale.

Qualcuno può dirmi se fin qui è corretto?

[Scotti]

Ciao Black Magic

per semplificare le cose potresti vedere il campo elettrico del sistema come quello generato dal contributo di tanti condensatori con carica superficiale $sigma = rho *dx$. E quindi:

$ dE=sigma/epsi_0 =rho_0/ax*dx $

Quindi come tale giustamente il campo esterno alle superfici deve essere =0.
Mentre per $-a<x<a$

Come varia il campo elettrico per $-a<x<a$?

Prendiamo un punto $x_1$ a destra dell'origine: esso risentirà della forza dovuto al campo elettrico con densità negativa, con verso negativo rispetto all'asse x, del campo elettrico dovuto alla carica in $0<x<x_1$, con verso positivo e infine della rimanente carica che genera un campo elettrico che nel punto considerato ha verso negativo.

Si ha:

$\int_{-a}^0 \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx + \int_{0}^{x_1} \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx - \int_{x_1}^a \frac{2\pi\rho_0}{a}xdx $

Il cui risultato è $\frac{2\pi\rho_0}{a}(x_1^2 - a^2).$

In particolare, in $x=0$ il campo elettrico ha modulo $-2\pi\rho_0*a$.

Non capisco come salta fuori quel $2pi$. Dovrebbe essere:

$\rho_0/(2a epsi_0)(x^2 - a^2)$

Bye

[Black Magic]

Ho lavorato in CGS, mentre tu hai lavorato in MKS.
Comunque siamo giunti allo stesso risultato.

[Scotti]

Giustamente.

Per il potenziale ci sei ??

Bye

[Black Magic]

Ciao a tutti,

continuo l'esercizio.

Il campo elettrico, dunque, può essere riassunto in questo modo:


$\vec{E} = (E_x,E_y,E_z) = (E_x, 0,0)$

e

$E_x= {(-\frac{2\pi\rho_0}{a}(x^2 -a^2) \text{ se } x \in \(-a,a)\ ),(0 \text{ se } x <-a \vee x>a):}$


Per trovare il potenziale, si osserva che:

$(delV)/(delx) = -E_x(x)$
per $x<-a$ il potenziale è quindi una costante, $V_0$. Per $x \in (-a,a)$ il potenziale è uguale a:

$V(x) = \frac{2\pi\rho_0}{a}(a^2x - \frac{x^3}{3})$, mentre per $x>a$ il potenziale ritorna ad essere costante.
Che valore ha il potenziale nei punti in cui è costante?
Se faccio l'integrale di linea del campo elettrico su due di questi punti, devo trovare che questo è uguale alla differenza di potenziale a meno di un segno.
D'altronde non c'è motivo di ritenere che il potenziale abbia discontinuità in $x=-a$ e $x=a$, per cui dovrebbe essere:


$V(x)= {(\frac{-4\pi\rho_0 a^2}{3} \text{ per } x<-a ),(\frac{4\pi\rho_0 a^2}{3} \text{ per } x>a):}$

Mentre nei punti $(-a,a)$ è uguale a: $V(x) = \frac{2\pi\rho_0}{a}(a^2x - \frac{x^3}{3})$.


Potete dirmi se il ragionamento è giusto?